Systèmes complets et invariants différentiels. 9 



(l'une faron toute pavtieulière. D'un autre eôtc tout invariant du groupe (i) 

 pourra s'exprimer en fonction des invariants Ui-.. ?"„_,. Soit, en ettet, <i» (:/•,... :r„) 

 un invariant (quelconque. On aura identi(|uement, d'après la détinition, 



<t>(f\lj;a)---fAx,a))= </>(.r, .••.r„), 



et cette identitt' sulisistera évidemment encore lors(|u'on substitue aux (■/,...«,. 

 des expressions (juelcon(]ues. Posons en particulier 



a,- = */''■ (■'i ■■■■r„,«i--- «ï) ('■ = I ■ ■ • 7) , 



les '/' et les a ayant les mêmes signitications (|ue plus haut (p. 7). On 

 obtient 



(/) (.ri . . . r„) = '/' («, •■•«,,. f/, •• • fy;,-,) , 



ce (pu (K'uionti'c notre proposition. Le groupe (1) possède, par consé(iuent, dans 

 les conditions admises relativement à la matrice (6), précisément n-q invariants 

 distincts. 



En résumé, on voit i[\\rfa)}t donnres les rqnations finies (Vmi (jrmqjr. 

 i» transitif, les invariants du fjroiipe sV« déduisent par V élimination des para- 

 mètres '). 



T»e])renons les équations (9) é\v la nuiltiplicité S,.: 



,r,;+; = /; (.7i . . . .7„, x\ ■ ■ ■ ./•,/) (/ = r • ■ • »-'/)• 



Si Ton considère cette fois les x comme variables et qu'on substitue aux .<■' les 

 cooidonnées d'un point quelcon(iue de S,,, ces é(]uations représentent une certaine 

 mnltii»licité. (|ne nous désignerons par S,.. Or. on peut démontrer (pie S,, coïn- 

 cide avec *S'^.. En effet, il résulte d'abord des identités 



/;• (./-1 • • ■ ,r„ , :i\' ■ ■ ■ x,j') = /;• (/i (X, a)--- /;, (.r, a), .r ,' • • • r,/) (/ = i • • • n-q) 



que la seconde de ces multiplicités est toute entière contenue dans la première. 

 D'autre pai't ces deux multiplicités ont le même nombre (7) de dimensions, 

 puisque f\---f„^,, sont indépendantes en tant ijue fonctions de Xx---x„. Chacune 

 d'elles étant d'ailleurs définie par un seul sA'stème d'équations analytiques, il en 

 résulte qu'elles coïncident identiquement, c. q. f. d. 



3. La génération du groupe (1) moyennant les ti'ansformations intùiitési- 

 males X^ f. ■■X,.f conduit à une méthode pour le calcul des invariants, entière- 

 ment différente de celle ({ue nous venons d'exposeï'. Reprenons, en effet, la 

 foruuile (4') 



') Cf. Sophus Lie. Travsfnrmaliovfirjnrpjiev. 1, p. 218. 



