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f (.r/ . . . x,;) = f{x, ■ ■ ■ ,T„) + ^ ?., X, /■+ A, 2 Å, Xj X, (Xj /■) + .... 



Poiu' qu'une fonction /' reste invariante pour toutes les transi ormations (i), il 

 faut, d'après cette fornuile, cju"on ait identiquement 



(12) X,f=o,X^f=o, ,X,.f=o. 



Cette condition est d'ailleurs suffisante, cai' en la supposant réalisée, Tégalité 

 précédente se réduit à 



f{Xi ■■■X,,') = f{x\ ■■■x„). 



Donc tout invariant du groupe (i) est une intégrale du système linéaire (12) et, 

 réciproqement, toute intégi'ale commune des équations (12) est un invariant du 

 groupe (1). 



Considérons la matrice 



gl t (a'i •■■a'„) • • ?,.i (.Ti •••x„) 



(13) ; ; ; : 



formée par les coefficients des équations (12). Si tous les déterminants d'ordre 

 n de cette matrice ne s'annulent pas identiquement, les équations (12) seront 

 linéairement indépendantes. Supposant, au contraire, que tous les déterminants 

 d'ordre n, n~i, ... , q+i disparaissent identiquement, mais qu'il y ait, parmi 

 les déterminants d'ordre q, au moins un qui soit différent de zéro, les expressions 

 X, /'. . . X,. f seront toutes des fonctions linéaii'es de q d'entre elles. En désignant 

 ces dernières par X,.J'. ...,Xj,^f, il en résulte que le système (12) pourra être 

 remplacé par le suivant 



(14) XvJ= 0,Xv^f- 0, , Xv,j f=o. 



D'autre part on voit, en se reportant aux équations (5), qu'il existe entre les 

 expressions X^^f ...Xr.^f des relations de la forme 



(15) Xv, {Xv, f) - Xv, (Xv, f) = ^ 9.A.- (^i • ■ • r,.). X,„ f (i,]c=i... q). 



s=l 



On appelle système complet tout système d'équations linéaires indépendan- 

 tes qui vérifient des relations de la forme (15). On pourra donc énoncer la 

 proposition suivante : 



Les transform-ations infinitésimales dhin groupe étant données, le calcul 

 des invariants du groupe revient à l'intégration d'un système complet '). 



') Cf. SûPHUs Lie, Transformationsgrupperi. p. 97 



