SySTKMF.S COJiri.KTS ET INVARIANTS DIFFÉUENTIEIiS. 11 



Dans le troisième chaintre nous aurons à étudier en détail les systèmes 

 complets. Ici nous ne ferons que remarquer, en passant, que tout système 

 complet de 7 éijuations à p variables admet n-q intégrales indépendantes et 

 que le groiipe considéré possède, par conséquent, dans les conditions admises 

 relativement à la mati'ice (13*; n-q invariants distincts. 



4. Nous avons supposé (jue tous les déterminants d'ordre q contenus dans 

 la matrice (6) ne s'amiulent pas identiquement. Cependant il peut bien exister 

 des valeurs x^...x„ pour lesquelles ces déterminants s'évanouissent quels que 

 soient «, . 0,. . Désignons par f},^ l'ensemble des points correspondants à ces 

 valeurs ;/•, . . . x„ et. d'une manière analogue, par iip l'ensemble des points pour 

 lesquels les déterminants d'ordre |j de la matrice (6) disparaissent quels que 

 soient a^.-. a,.. Nous sommes ainsi amenés à considérer une suite de multipli- 

 cités, iî, , .'.',j_i ilont chacune est évidemment comprise dans celle (jui la 



précède. Quelques-unes d'entre elles peuvent se composer de multiplicités sé- 

 parées ou même de points isolés. Nous désignerons, d'une manière générale, 

 par Mj,\. 3fp2,- ■■ les nmltiplicités partielles analytiquement indécomposables (|ui 

 constituent a,, . 



Cela posé, soit a-, "...a-,," un point quelconque de îi,, et posons 



x! = /;■ (rc,« . . . .r„o, ?;,•■■ h,) (i= I • • . «) ; 



on aura, d'après la propriété fondamentale des groupes, 



fi (xi ■ ■ ■ a-,: ,«,■.■ 0,.) = f: (a," • • ■ .r„o , f j • • ■ r,) (I = i ■ ■ ■ «). 



c, ...r,. étant des fonctions de ai-.-a,, b^.-.h,.. On en tire, en faisant usage 

 d'un théorème bien connu sur les déterminants fonctionnels '), 



ö(fi,{x',a)...f<^(x,a)) _ y (^(/;-.(-rVW^^^V))_ à{ r,,...c ,^) ^^ 



'•1 ■ ■ ■ '■> 



d'où l'on conclut que le point cr^' ...x' appartient à ß^, pour toutes les valeurs 

 des paramètres h^...h,.. Ainsi, quelle que soit la transformation du groupe (i) 

 effectuée sur un point arbitraire de n^, cß point ne sortira pas des limites de 

 cette multiplicité. .0, est, par suite, une multiplicité invariante relativement au 

 groupe proposé. En se rappelant la mode de génération du groupe (1) au 

 moyen de transformations intinitésimales, on en conclut que chacune des nuilti- 

 plicités ik/,„, constitue sépai'ément une multipUcité invariante "). 



M Jacobi, De Determinantibm fundionallbus, Crelle's jüui'iial. Bd. 22, p. 340. 

 ^) Sophus Lie, Traiisfonncdionsgriippen, I, p. 231. 



