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E. LiNDELÖF. 



Pour «1 = «!°, ...,«,. = «,!', la matrice (6) se réduit à (13). Dès lors, en 

 désignant par Sij, l'ensemble des points pour lesquels tous les déterminants d'ordre 

 p de cette dernière matrice s'annulent, on peut affirmer que tout point de n^, 

 est contenu dans />^ . La proposition inverse a également lieu. Pour le démontre}', 

 considérons ]"un quelconque des déterminants d'ordre ^> de la matrice (6). soit 



à (a. 



En vertu des équations (2') on a 



I r 

 2] '/'il («) h (■■?■') 



i>« 



2 i^jp (a) '^ß (»■') 



2vVi(a)?>(^') 





ou bien, en développant '), 



^'v,\ (a) 



^^-^ 



'i\p 



(a) 



H>vp\ (a) 



fiyia) i 



?.,1 {X) 



'^V,P ix) 



hpi (.x') 



hj' (x) 



la somme s'étendant à toutes les combinaisons distinctes j-, • . . r^, des nombres 

 1 , 2 ...r. Comme on obtient des expressions analogues pour les antres déter- 

 minants d'ordre j; de la matrice (6), on voit que tous ces déterminants s'annu- 

 lent en même temps que les déterminants d'ordre ^ de la matrice 



Sil (^i ■ • ■ x„ ) 



'êv.i^^l' ■■■3„') 



?,i (.ri' ■ • ■ X,:) 



ï,„ (Xi ■ ■ ■ X,') 



Or, ceux-ci s'expriment, d'après M. Lie -), en fonctions linéaires des détermi- 

 nants d'ordre j; de la matrice (13). .11 en résulte que tout point de .ô, rentre 

 dans la multiplicité /i^„ comme nous l'avions avancé. Donc ces deux multipli- 

 cités sont identiques et, par suite, la multiplicité Sîj, peut être définie par les 

 équations qu'on obtient en égalant à zéro tous les déterminants d'ordre 2^ de 

 la matrice (13). 



M Jacobi, Be formatione et proprielatïbus Detmiibiantliim, Grelles journal, Bd. 22, p. 312. 

 -) Transforjnationacjnqjpen, I, p. 241. 



