Systèmes cumplets et invariants différentiels. 13 



5. Désignons jiar P,, im point de îi^, qui n'appartient pas à /»p_i, et soit 



un (les (léteruiinants (l'ordre 2^-1 (lui ne s'annulent pas identiijuement dans ce 

 point. Autour de 1\ on peut limiter une région X (à n dimensions), telle ([ue 

 i>^,_i ne s'évanouisse identi(iuement pour aucun point situé dans son intérieur. 

 Cela posé, en résolvant les jj-i premières équations 



a-,' = fi (.Il ■ ■ • x,„ ai • • • 0,) {i - I • ■ • h) 



par rapport à «, • ■ • u^,_^ et substituant les expressions obtenues dans les autres, 

 on aura 



(16) x^ i+v ■= fj.v (.fx • • • x„ , a'i' • • • xj,-i ,aj,--. a,) {v = i ■■■ n-p+i). 



Les seconds membres contiennent encore quelques-uns des paramètres a^, ■ ■ ■ a, , 

 mais on sait que ceux-ci disparaissent dès qu'on substitue aux .'; les coordon- 

 nées d'un point P de SJ^, conteiui dans la région X. l'our tout point F qui 

 satisfait à cette condition, les équations (16) fourniront, par conséquent, la 

 multiplicité correspondante 5',.. D'autre part cette même multiplicité pourra 

 être représentée par les équations 



xi,-i + r =fi,v(fii-i',h)'--f„(x,b),x{---x;,^i,a^,---ar) (»' = i ■■■n-pi-i), 



les b désignant des paramètres arbitraires. D'après cela, en posant 



f„v O^'i ■■■Xn, Xi ■ ■ ■ x'„- 1, a,, ■ ■ ■ Cl,) — Uj.i- (a'i ■ • ■ x„) (p - 1 H-p+i), 



après avoir égalé les x et les a à des constantes convenables, on arrive, par 

 un raisonnement analogue à celui par lequel nous avons établi les invariants 

 du groupe (n*' 2), à cette conclusion qu'on a 



U,,r (fi ix, h)--- f„ (.r, h)) = Upy (./'i • ■ • x„) {v - I ■ • • n-pi-i ) 



pour chacune des multiplicités M^,^ qui ne sont pas contenues dans .Q^,_i. 



iSoit il/^.j.j une de ces multiplicités et supposons (qu'elle soit définie par les 

 équations 



a;,,-^,- = <fi (.t'i • • • a'.,) ((' = i ■ • • 11— s). 



Chaque i)oint de 31^,^^ se trouve ainsi lié à un certain point de l'espace à s 

 dimensions x^... .r, . en sorte qu'à toute transformation effectuée sur les points de 

 Mp^.^ correspond une certaine transformation effectuée sur les points de cet 

 espace. Or, d'après ce que nous avons vu plus haut, le groupe général (1) 

 transforme entre eux les points de il/^,,,, . et comme toutes ces transformations 



