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constituent un groupe à part, on conclut qu'il en est de même des transforma- 

 tions correspondantes dans Tespace ;ri . . . x, , lesquelles sont définies par les équations 



( 1 7) «/ = fi (■'■tl • ■ • ■*.■.- ,fl--- f'n -.«. «1 ■ ■ ■ 0.) {i = I • • • a) . 



Ce deinier groupe est engendré par les transformations infinitésimales 



X; /' = 'in C^i • • • a;,, y, • • • f/,,-») ^ + + ?;.■ (a:i • • • x, , ffi • • • (f„ - ,) ^^ {l - i •••»•) , 



qui cependant ne sont pas nécessairement toutes indépendantes '). 



D'après ce qiie nous avons démontré plus haut, les fonctions U^,i,(xi...x,') 

 ne changent pas de valeur lorsque, en désignant par x^... x,, les coordonnées 

 d'un point quelcon(iue de M^,^ , on effectue sur ce point une transformation ar- 

 bitraire du groupe (i). Il s'ensuit que les fonctions 



Vvv (-fi • ■ • ■'■.V, Vi • • • </'-<-.0 (j' = I . ■ . n~p+ 1) 



sont des invariants du groupe (17) et qu'on peut les obtenir, par conséquent, 

 d'après le n" 3, en intégrant le système linéaire 



X, /' = 0, A's /• = 0, , X, /■ = 0. 



0. Nous pouvons maintenant aborder le problème général de trouver 

 toutes les nuiltiplicités invariantes relativement au groupe donné. Nous en 

 avons déjà rencontré quehiues-unes, à savoir celles que nous avons désignées 

 par il,,, .'.',_i etc., ainsi que les multiplicités Sj., définies dans le n" 2. On 

 obtiendra évidemment d'autres nuiltiplicités invariantes en associant les Sp sui- 

 vant une loi arbitraire. Réciproquement on peut envisager toute multiplicité in- 

 variante comme étant composée d'une suite de multiplicités St.. En effet, si 

 cette multiplicité enferme le point P, elle enfermera, d'après la définition même 

 des multiplicités invariantes, tout point où P peut être transporté par les trans- 

 formations du groupe (1). c. a. d. qu'elle contiendra la multiplicité *SV. 



Soit T une multiplicité invariante définie par les équations 



Fl (a-i ■ • • X,) - , ■,Fii{xi ■■■ x,^ — 0, 



h\ ■ . ■ Ffi désignant des fonctions analytiques, et supposons d'abord que T ne 

 soit pas contenue dans î>,^. Nous allons démontrer que T peut être définie, 

 dans ce cas, au moyen de relations entre les invariants du groupe (1). Soit, 

 en effet. 



') Cf. Sophus Lie, Transfonnatimvigruppen, I, i). 233. 



