Systèmes complets et invariants différentiels. 15 



un des déterminants d'ordre q qui ne s'annulent pas identiquement dans tous 

 les points de T, et admettons, en particulier, que 



D(<i" -x,,", ûi •••«,•) 4=0, 



x^...u-" désignant un point de ï' et a^.-.ii^ des constantes quelconques. On 

 poiu'ra alors limiter, autour du point x^ . . . x,^ , une région .1 de la multiplicité 

 T, telle que pour tout point F, (u:, . . . a;„), contenu dans cette région 



Les équations de la multiplicité Sp qui correspond à un quelconque de ces 

 points, peuvent être mises, d'après le n° 2, sous la forme 



(i8) x,j+i = fi (xi ■ ■ ■ x„,xi' ■ --x,,') (l = I ■ ■ ■ ii-q). 



En égalant Xi ■■■ x,j' à des constantes convenables «^ ■ . «.^ , ces équations feront 

 correspondre à tout point de la région A un point «,...0;^, x,j^i-..x,', contenu 

 dans la multiplicité 



(19) Fi («,-•• «,;, x,j+i ■ ■ ■ x„) = ((• = I . . . ij), 



intersection de T avec la multiplicité Xj = t;, . . . . , x,^ — a,^ . D'après la remarque 

 faite à la tin du 11" 2 on voit alors que la multiplicité Sj. pourra être lepré- 

 sentée aussi par les équations 



x,;+,- = /;• (xi--- x„ ,«!■•■ «,) (i- I • ■ ■ » —q), 



Xf- x„ étant regardées comme variables. 



Cela posé, considérons la multiplicité ï'i détinie par les équations 



(20) F((«i ■■■a.jji (.»■, -a;,,, a, ••■«,,) f„ q(Xi -a;,,,«! ■■■et,,)) = (i = i •■•/*)■ 



Comme elle se compose de nuiltiplicités Sj. issues des divers points de (19), elle 

 sera évidemment toute entière contenue dans T. D'autre part les multiplicités 

 T et Ti se confondent dans la région A. Donc, puisqu'elles sont définies l'une 

 et l'autre par des équations analytiques, elles doivent se confondre identique- 

 ment, et les équations (20) représentent, par suite, aussi la multiplicité T. Les 

 fonctions fi(xj...x„, a^...i(,,) étant des invariants, d'ajjrès le n" 2, nous pou- 

 vons ainsi énoncer le théorème suivant ') : 



Toute miiîtiplicUc invarimüe qui nest pas contenue dans ii,, peut être dé- 

 finie par des relations entre les invariants du cfroupe. 



') Cf. Sophus Lie, Trcuisformutiuiisynippeii, 1, p. 12.i. 



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