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11 est évident d'ailleurs que tout système de relations entre les invariants 

 définit une multiplicité invariante. 



Le cas où la multiplicité invariante proposée est contenue toute entière 

 dans une des multi2)licités ii,^, -'-*,y-i-- se traite d'une manière analogiie. En 

 se seivant des notations et des résultats du n" 5 on parvient au théorème que 

 voici ^) : 



Toute miütiplicitc invariante qui est contenue dans fjj, sans être comprise 

 dans S>j,_i , peut être obtenue en ajoutant aux équations qui définissent une des 



multiplicités M^^ des relations convenables entre les fonctions Upi(xi...;i',^ 



L'y,, „_j,+i y-'^i-'-x»)- 



CHAPITRE IL 



GROUPES PROLONGÉS. INVARIANTS DIFFÉRENTIELS. 



7. Etant donné un groupe continu, on peut en déduire, de différentes 

 manières, d'autres groupes ayant le même nombre de paramètres que le groupe 

 primitif, mais un plus grand nombre de variables. 



Considérons par exemiile le groupe (i) p. 3 et éciivons les équations qui le 

 déunissent ft fois de suite, en nous servant de (i systèmes difféi'ents de variables. 

 Les équations ainsi obtenues 



(i) x^i = fi («,,1 • • • Xyn ,«,■•■ Or) (l = 1 ■■■n,v = j ■■■iJ,) 



formeront évidemment un groupe à r païamètres, lequel sera engendré par les 

 /• transformations infinitésimales -) 



A'/,, /•+ A'7,2 /■+ + Xki,f (k= !■■■ r), 



n 



où Xkv = 2] ?'.v (^vi ■ ■ ■ X^n) ^ • 



./■ = 1 



Si l'on choisit (i de manière que >'^i>r, le nombre des variables du groupe 

 (1) dépassera celui des paramètres et l'on pourra affirmer, d'après le n" 2, que 

 le groupe possède des invariants. Ainsi par exemi)le le groupe formé par les 



') Cf. Sophus Lie, Tlnwio der Tranafonnatlonsunqipni. I. p. 237. 



-) Ibid., 1). 219. Voir aussi: W. Kilung, Erweiterung des Begriffes der Invarianten von 

 Transf'ormationsgruppen, Matliematische Annalen, Bd. XXXV, p. 423—432. 



