Systèmes complets et invariants différentiels. 17 



transformations des coordonnées admet pour invariant la distance de deux 

 points. 



8. Un obtient d'autres groupes en regardant, dans les équations du groupe 

 (i) p. 3, certaines variables comme des fonctions des autres '). Pour mieux 

 mettre en é\idence ces deux espèces de variables, nous écrivons les équations dont 

 il s'agit, sous la forme 



^"^ I ît' = V'i- (^1 • • • ^'" ,^i---^j.,(ii ■■■ ^') (''' = I • • • P) - 



en désignant par ^i.--.î,„ les variables qui restent arbitraires, et par ^i---Sj, 



(^iii+p=^n) les variables qu'on fait dépendre de celles-ci. 



Cela posé, nous définissons, suivant l'exemple de M. Tresse "), les z en 

 fonction des .*• par leurs développements en séries au voisinage d"un point 

 arbitraire a-,".- • ;/„,''. En posant, poiu* abréger. 



ni ••■»•„,! 



-.0 



ces développements deviennent 



(3) ^-~^« = 21 ■'"' '•■••• ■■"' (^'-^i*)''' • • • (^" -•'•"''')'■"' ('■ = I • • • p) ■ 



D'autre part on trouve, en développant les x et z suivant les puissances de 

 (4) '-^ 0-=.--«0, 



les a;'" et /" étant déterminés par les équations 



a;.'" = y,- (.Ti« • ■ • xj, ^,0 • • • 2/, a, • . • 0,.) (/ = I • • • m), 

 ~n'» = V'. (.ïi° • • • xJ, z,o... Sj,o, a,.-- a,) (/.• = i • • • p). 



Afin d'obtenir les relations entre les x et / qui correspondent aux relations 

 établies entre les a; et z, ou, en d'autres termes, pour avoir la nuiltiplicité 

 dérivée de (3) au moyen de la transformation (2), nous substituons dans les 

 équations (4) aux z^-Zi, ■■■. Zj-Zj° leurs expressions (3). Il vient 



') Cf. Sophus Lie, Theorie der Transformatioiifigruppeii, I, Chap. '2'j. 



') A. Tresse, Sur les développements canoniques en séries, dont les coefficients sont les inva- 

 riants différentiels d'un groupe continu. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séance du 

 30 mai 1892. 



