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K. LiNnELÖF. 



(5) 



aj/'-a;;'« = '/>,• (xi~Xi'>, • ■• , .c,, -a;,,,») (i = i • . ■ w«), 



.■,;-,£, 'O = II'-, (x, -x,\..., x„-xj) (/.; = I . . . p), 



où les ti< et <"/'■ désignent des series procédant suivant les imissances entièi'es 



positives de Xx-:i\^ , 



on aura 





dxi 

 dxi 



En se servant de la notation 



fixk dx), dzi dxk 



dqpi 



CfXni 







+ 



dzj, dxi- 



à ((pi y,„) _ dzi^ 



\ô(xi'- x,,-i , Zi , Xi.+i ■ ■ x,„) dXk 



+ • 



Comme il existe, parmi les déterminants fonctionnels de Çj . . . ff,„ par rapport à 

 m des variables a\...x,„, s\...Sj,, au moins un qui ne s'annule pas identiquement, 

 puisque ces fonctions sont indépendantes entre elles, l'équation 



* d {x^^ ■■■ x„) 



ne saurait être satisfaite que par des systèmes particuliers de fonctions Zi---3^. 

 Tant que les constantes x", z^, z°, ,.,... ,., , des développements (3) restent indé- 

 terminées, il est donc toujours possible de résoudre les m premières équations 

 (5) par rapport à Xi-x°, ... , x„rxj. En substituant les expressions ainsi trou- 

 vées dans les 2^ dernières équations (5), on obtient les relations clierchées 

 entre les z et les x', sous la forme 



(6) 



.,'-^/0 = 2 "'°' '•■••■ '•'" (^^»'-^1'") "■ ■ • ■ (^'"-^'''') "'" ('■ = I • • • îO , 



les s'°^,.^ ,.^^^ désignant certaines fonctions des xf,z,!^,zl',^^,,,t,,„ et des para- 

 mètres «1 . . . a,. . 



L'existence des développements (6) une fois démontrée, on peut les établir 

 aisément en se servant de la méthode des coefficients indéterminés. A cet effet 

 on n'aura qu'à substituer dans ces développements, en y regardant les ^;/", ,.^.,. ,._^^ 

 comme des inconnues à déterminer, aux x'-x'^ et /-/" leiu's expressions (5) et 

 à identifier ensuite les coefficients des termes correspondants des deux membres. 

 On obtient ainsi une suite d'équations linéaires qui, l'ésolues succesivement, dé- 

 tei'minent les inconnues z'*^^ ,.j . , . ,. d'une manière univoque. Soient 



