Systèmes complets et invariants bifférkntiels. 19 



(7) ^/»,.-, ....•„, = F:.., . ..,-,„ («,••■ a,., xf. z,\ .r,« ,, ,J 



les valeurs ainsi trouvées. La forme même des équations linéaires précédentes 

 fait voir immédiatement que la fonction i''-,.,...,.^^^ ne contient que celles des 

 quantités s^, ,-,... v,„ pour lesquelles r, + . • . + >•„, < r, + . . . + r,„ . Or. il résulte des 

 relations (6) que 



" .>-r---'-„ 



■ »1 ! • • • »•-„ ! [dx\ '■■••• dx^r-"] -^' = *'" 



et comme le point x^^.-.xj est to\it à fait arbitraire, nous pouvons dès à pré- 

 sent énoncer la proposition suivante: 



Si dans le groupe (2) on considère ^, ••■^p comme des fonctions de 'j\....f,„, 

 les zî ...gp seront fonctions de a-,' ••■ :'■„,' et toute dérivée d^ ordre v des z par 

 rapport aux x s^exprimera en fonction des a, x. z et des dérivées des s- par 

 rapport aux x jusqu'à Vordre v inclusivement. 



Effectuons maintenant sur la multiplicité (6) une nouvelle transformation, 

 en posant 



/rr," = y.(aV---a;„;,^i'...^j,',fti---6,.) («=i---»»), 



W 1 ,," = tfj, (.r/ . . . a,-; , ^,' . . . V, i. • • • ?'.) (k^ i...p), 



hy ... h,, désignant de nouveaux ])aramèt]'es arbitraires. En suivant le même 

 procédé que ci-dessus, on arriveia à présentei- les équations de la multiplicité 

 transtbrmée sous la forme 



* I • ■ ■ ' iti 



où 



x.-'o = </>,■ (x,'» ■ ■ ■ x,:.", ^,'0 . . • ,V", 6, ■ • • K) , 

 z^"o = xp,, (X, ■"■■■ x-J, .^'0 . . . .-/", ''i ■ ■ • br), 

 <\ ,-,... .„, = J'V r, . . . .„, (6, . . . br, rrv ". z^\ <», ,, . . ,, j . 



Or. le produit des transformations {■2) et (8) équivaut à la transformation unique 



(x." = ffi {Xi ■■ X.,„ Zy-.-Z^„Cy- c) (t = I • ■ • Wi), 



^ ' \z^' = ipk{xi-- x,„ , ^'i ■■ • ^p, f, ■ • • c) (k= i ■■■p), 



où 0, . . . c,. désignent certaines fonctions de «, • • • 0,. , Z», . . . />,. . On doit donc par- 

 venir directement à la multiplicité (9) en effectuant la tiansformation (lo) sur 

 la multiplicité (3). Les développements ainsi obtenus aui'ont pour coefticients 



'',• ,. ,- — -»^ ','■,..•'•„, V'i •••'■' '^■' ''■'■' ■•/ V. .V >' 

 ' t ' ' ' m ' I tu 



et comme ils doivent coïncider avec les développements (g), il faut qu'on ait 

 identiquement, pour toutes les valeurs des indices r, . . . ->„, . 



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