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I] en résulte que les équations 



(11) U*.'» - 



= y; (a-'i" • ■ • .r,,,", >/ • • • .j/, cil ■■■0,) (/ = I . . . m) , 



î/^j. (Xi'> ... a;,,,", .-i" • • • ^^" , «1 . . . 0,.) (k= i ■■■p), 



■„, - K, ,-,... ,•„, (0, • • • a,-, a;/», ^j.», ^/ ^^ ^^^^ ) (s = i • • • p ; r, -| (-»"«<>), 



OÙ V désigne un nomhi'e entier quelconque, iléfinissent un groupe à r i)ara- 

 in êtres. Donc: 



Les équations qui déterminent les dérivées des s par rapport aux x 

 jusqu^à Vordre r inclusivement en fonction des «, .-î;, 2 et des dérivées des z 

 par rapport au.r a; définissent avec les équations (2) un groupe à r paramètres. 

 On lui a donné le nom de (jroupe prolongé d'ordre v du groupe (2). 



Ainsi, en divisant, d'une manière quel<'onque. les variables d"un groupe 

 continu à r paramètres en deux classes et considérant les variables de lune de 

 ces classes comme des fonctions de celles de lautre, on est conduit à une suite 

 indéfinie de groupes prolongés, dont chacun est également à r pai'amètres, tan- 

 dis que le nomlu'e des variables va toujours en croissant avec Tordre r du 

 groupe. Ciomnie la classificaton des variables peut s'effectuer de différentes 

 manières, il existe plusieurs séries distinctes de groupes prolongés, dont oii peut 

 encore augmentei' la variété en ajoutant aux variables pi'imitives un nombre 

 arbitraire de nouvelles variables qui ne sont pas affectées par les transforma- 

 tions du groupe donné'). 



9. Si dans les développements (6) on donne aux paramètres rt, . . . a,, les 

 valeurs «j" . . . «,.•*, auxquelles correspond la transformation identique du groupe 

 (2), on retombe évidemment sui- les développements (3). d'oii il suit que, par la 

 substitution des mêmes valeurs, chacun des groupes prolongés se réduit égale- 

 ment à une transformation identique. On voit dès lors que toute transforma- 

 tion infinitésimale 



;=i i—i 



du groupe (2) donne lieu à une transformation infinitésimale bien déterminée de 

 chacun des groupes prolongés. Soit X"'f' celle du groupe prolongé d'ordi-e r. 

 En posant, pour simplifier, 



Oxi ''' ■ ■ ■ dx„ 





M Cf. Sophus Lie. Transfûniudionsgruppun, I, p. 54«. 



