Systèmes complets et invariants diffébentibls. 21 



X^''V" aui-a la forme 



m = xr^^ 2f.,. -t,., ,■ 



laquelle nous amène à délinir X""f comme la fransformafion infinitésimale v 

 fois prolongée de Xf. 11 s'agit de déterminer les t«-,,-, .■ •,„• 



Désignons, d'une manière générale, par d(f 1 "accroissement d'une expres- 

 sion quelconque if. dû à la transformation intiidtésimale X^'"f. On aura, en 

 entendant par di un intiiiiment petit. 



ÖA-i ^hàt. d.:^. = i;,ôt, ÖIH, ,., ,„ = il. r „, àt , 



les accroissements dx. àz. dp éteint évidemment liés entre eux par les relations 



(k= i-'-p; r, -] h r„, = o • ■ ■ y-i), 



oxi on aura à mettre ^^ à la place de pi.,,,..,,.- En observant que l'ordre des 

 signes d et d peut être interverti et en désignant par . la dérivée totale par 

 rapi)ort à u;,, ces relations deviennent 



(/c - i ■■■i>; »'i H 1- r,„ = • • • v-i) . 



Comme les variables Xi--.x„, sont indépendantes entre elles, il faut que les 

 coefficients de dx^ . . . dx,„ s'annulent séparément. Au moyen des équations ainsi 

 obtenues on pourra déterminer successivement les inconnues 'ç^., ,. . . . ,.^_^ . En etïet, 

 en supposant qu'on ait déjà calculé les quantités 'd-, ,.,... ,-,„ relatives aux déri- 

 vées jusqu'à l'ordre (i inclusivement, les équations dont il s'agit nous fournis- 

 sent, pour les quantités iv, ,-,...,,„ relatives aux dérivées d'ordre «j + i, les ex- 

 pressions 



*>»f 



'■-'■■+1' '•'•■'■"•-"&; ^v.-,+i,.-,..,-,„^^.^ •■• ^v.-,..,-„,_„,„,,+i ^,^^ ' 

 M= I •••;> 



r _ «k-, .■,..,„, çZg^ _ d§„, 



^'■- n . . ,■„,_,, .,„+. - -^— -i ", -, 4-1, -, . . .■„, ,/^_,^ ■ ■ • ^^, -•, . . .„,_, , ,■„,+1 rf^_,; 



Il est vrai qu'on obtient de cette manière pour certaines inconinies plusieurs 

 expi'essions différentes, mais il est facile de voir que celles-ci ne sont distinctes 



