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qu'en apparence et qu'on pourra les réduire l'une à l'autre '). En résumé, 

 on peut affii'iner que les relations (12) déterminent les coefficients de X*-"'/' 

 d'une manière univoque. 



Cela posé, soient Xif...X,.f r transformations infinitésimales indépendantes 

 du groupe (2), liées par les relations 



r 



(13) Xi {X, f) - X, {Xi /•) = ^ C';,, X./- (/, k= i---r), 



,=1 



et désignons par X/*'/'. . . XJ:^^f les transformations infinitésimales obtenues en 

 prolongeant /• fois les X f. Il résulte des recherches de M. Lie '■) qu'on peut 

 envisager le groupe prolongé d'ordre v du groupe (2) comme étant engendré par 

 les transformations Xi^''^f...X}^^f. lesquelles, par conséquent, doivent satisfaire 

 à des l'elations de la forme 



8=1 



les Ci, désignant des constantes. D'autre part on trouve, eu égard à la foi-me 

 des XW/- (voir p. 21), 



X/") (X.CV) - X.c) (X/")/-) r. Xi (X,n - X, (Xif) + Y î, ...... r,„ // 



La comparaison de ces deux expressions donne, en regardant /' comme fonction 

 des seules variables x et s. 



Xi (x,n - X, (Xif) = 2 c'^' ^'f' 



et par suite, d'après les relations (1.3), 



^ Ci,, X,f = 2 CL Xsf (i, k = I . . • r) . 



s=l 



Les transformations infinitésimales X^ /'• . . X,f étant indépendantes (voir p. 3), 

 d'après l'hypothèse, les relations précédentes doivent se réduire à des identités. 

 On aiua donc 



C,'ks = C,-te (i, Je. s = 1 ■■■ r) , 



et, par suite, 



■) Cf. Sophus Lie, TransformaMonsgruppcn. I. p. 546. 

 ') Ibid., p. 547. 



