Systèmes complets et invariants différentiels. 23 



(14) X/") (äV")/-) - AV"'' (AVV) = 2 ^-*v X,'>'V-. 



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En vue des applications à faire plus tard, nous donnerons ici les formules 

 relatives au prolongement des transformations intinitésimales dans les cas de 

 deux et de trois variables. Considérons d'abord un groupe à deux variables 

 ^, y, et soit Xf = $^. +^I' une transformation intinitésinialc de celui-ci. En 

 considérant // comme fonction de x et prolongeant Xf v fois, on trouve') 



'^^^di~^dr'^ôx^%-dx^"-dy^'- 



•^^-i-^ dJ;^d-i+^'öxJy-d^^'^-^^di^-'öxof''--öy^'j'^%-^-rx-^ry'^^^ 



'"= ^r-^'^dr k':'=dx + ^ öy+!>dy'-^---^^'d,r-^^)- 



Soit en second lm\ Xf—'§ J , + ^-f + i J une transformation inlinitésimale 



d"un groupe aux trois variables x, y, ^. Considérons z comme fonction de x 

 et y et posons 



d£_ dz__ dh_ à^__ à^J - f 



dx~^^' dy"'^- dx' ~ *'' dxdy ~ *' ' ^y^ ~ 



La transformation infinitésimale deux fois prolongée de Xf devient 



ou 



dy dy ' dy dx dx dx ' 

 -jf, et Y désignant partout les dérivées totales par rapport à x et y. 



10. Nous avons vu (p. 7) qu'un groupe continu admet toujours des in- 

 variants lorsque le nombre (n) des variables dépasse le nombre (r) des para- 



') Cf. Sophus Lie, Vorlesmujen über Difj'eraitialcjleidamgen mit bekannten uifinitesimalcn 

 Trans/'ormationen, herausgegeben von G. Scheffeks (Teubner 1891), p. 358. 



