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mètres. Il en résulte qu'à partir d'un certain ordre i\ , les groupes pi-olongés 

 d'une même suite possèdent tous des invariants. On les appelle invariants dif- 

 férentiels par rapport au groupe primitif. Le nombre des invariants distincts 

 dun groupe étant d'ailleurs, d'après le n" '2, au moins égal à la diiférence n-r, 

 laquelle yà toujours en croissant avec l'ordre du groupe prolongé, on en con- 

 clut qi('('i toute division des variables d'un groupe en deux classes correspond 

 une suite illimitée d'invariants différentiels. 



Lorsqu'il s'agit d'établir les invariants différentiels d'un groupe continu 

 on pourra se servir de l'une ou l'autre des méthodes exposées dans le premier 

 chapitre pour le calcul des invariants d'un groupe intransitif. Supposons d'abord 

 qu'il s'agit d'un groupe dont on connaît les équations unies, soit le groupe (2), 

 et proposons nous de calculer les invariants différentiels de celui-ci (relatifs à 

 la division admise des variables) jusqu'à l'ordre /• inclusivement, par la méthode 

 d'éhmination du n" 2. A cet eff'et on commence par établir les équations (1 1) 

 du groupe prolongé d'ordre v, ce qui n'exige que la résolution d'un système 

 d'équations linéaires; puis ou élimine entre ces équations (11) les paramètres 

 rti . . . a,, après avoir égalé certaines variables à des constantes arbitraires, comme 

 il a été expliqué dans le numéro cité. La méthode se réduit, en résumé, à 

 cette règle pratique, formulée par M. Tkesse ') : 



Pour trouver les invariants différentiels du groupe (2) 01/ établit d'abord 

 les développements (6); puis on dispose des arbitraires de lu transformation (2) 

 de façon que, imrmi les rc/", ^v,'" et les coefficients ■£■,'",,,...,■„,. wn certain nom- 

 bre ait des valeurs fixes arbitraires. La transformation étant ainsi déterminée, 

 les expressions des autres coefficients de (6) en fonction des .e", s" et des coef- 

 ficients de (3) sont les invariants différentiels du groupe. 



11 importe d'observer qu'il n'est pas nécessaire de pousser le calcul jusqu'à 

 obtenir les expressions explicites des coefficients de (6). On peut tout aussi 

 bien opérer directement sur les équations linéaires mêmes dont dépend la dé- 

 termination de ces coefficients. Nous n'insisterons pas davantage sur cette 

 question pratique, qui sera mieux expliquée par un exemple pailiculier traité 

 dans le dernier chapitre. 



Supposons maintenant que le groupe tlont il s'agit, soit défini par ses 

 transformations infinitésimales Xj /'. . . X, f. Le groupe prolongé d'ordre r, re- 

 latif à une certaine division des variables, sera engendré par r transformations 

 infinitésimales X/"y- X/^V', obtenues en prolongeant )• fois les Xf, et on 

 aui'a par suite, d'après le n" .3, les invariants différentiels du groupe considéré 



') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séance du 'M mai 1892. 



