Systèmes complets et invariants différentiels. 25 



(relatifs à la division admise des variables) jusqu'à l'ordre v inclusivement, 

 en intégrant le système linéaire 



X/''V=o, ,X,W/-=o, 



lequel, en vertu des relations de la forme (voir p. 23) 



•lue les X^^V" doivent véritier, se réduit à un système eomplet. Donc: 



J£tant données les transformations infinitésimales d'un groupe continu, le 

 calcul des invariants différentiels du groupe revient à f intégration de certains 

 systèmes complets. 



Outre les invariants des «iioupes pi-olone:és il peut eiicoi-e exister des mul- 

 tiplicités invariantes par rapport à ces groupes. Le système d'équations qui 

 définit une telle multiplicité constitue un système invariant d'équations différen- 

 tielles par rapi>ort au groupe primitif. Nous avons déjà rendu compte dans 

 le n" (i de la formation de ces systèmes. 



11. 81 l'on coiniait nu nombie suftisant d'invariants dirtérentiels d'un 

 groupe, on pomi'a en déduire une intinité d'autres ]»;ir ditféreiitiation. C'onsidérons, 

 pour tixer les idées, nu groupe G à deux variables x et y, y étant regardée 

 comme fonction de x. et soit 1 un invariant différentiel d'ordre v de ce groupe. 

 Pour abréger le langage nous appellerons, d'une manière généi'ale, élément E-, 

 tout système de valeurs des coordonnées x, y et des dérivées y, y", . . . , i/'' 

 jusqu'à l'ordre / inclusivement. D'après cette détinition on peut dire que toute 

 courbe détermine une suite simplement intinie d'éléments E,. 



Cela posé, en désignant pai- (' une constante quelconque. Téquation diffé- 

 rentielle 



(15) 1 = G 



définit un ensemble (M) d'éléments E^, ^\^^\ restera invariant poiu' les trans- 

 formations du groupe prolongé d'ordre ;• de G. Il s'ensuit qu'en eft'ectuant 

 une transformation quelconque de G, toute courbe intégrale ?/i de (15) se change 

 en une courbe ?/i dont tous les éléments E^ seront compris dans l'ensemble M 

 et qui sera, par suite, aussi luie courbe intégrale de l'équation (15). en sorte 

 qu'on peut dire que le groupe G laisse invariant l'ensemble des courbes intégrales 

 de cette équation. Il en sei'a évidemment de même de l'ensemble des courbes 

 intégrales qui correspondent à ditt'érentes valeurs de la constante ('. Ce dernier 

 ensemble étant détini par l'équation différentielle d'ordre r+i 



