26 E. LiNDELÖF. 



dl 



T- désignant la dérivée totale par l'apport à .r. on en conclut que cette équa- 

 tion définit un ensemble d'éléments 7'^_^, qui reste invariant par rapport au 

 groupe prolongé d'ordre v+i du groupe G. 



Soient maintenant /, et l, deux invariants difféi'entiels d'ordre v et it 

 (f< > r) du groupe G. D'après ce qui précède, l'équation 



dl^ pdli _ 



dx dx ~ 



représentera, quelle que soit la constante C. un ensemble d'éléments Efc+i qui 

 restera invariant par rapport aux transformations du groupe prolongé d'ordre 

 {f+i de G. 11 en résulte immédiatement, en écrivant l'équation sous la forme 



dl,^ 



dx dli 



^: = c. 



dl, dl, 

 dx 



que l'expression j^ est un invariant de ce dernier groupe et. par suite, un in- 

 variant différentiel du groupe G '). Si l'on désigne par o l'ordre le moins élevé 

 pour lequel il existe des invariants difféi'entiels du groupe G, on conclut sans 

 peine de ce qui précède que. connaissant deux tels invariants d'ordre o et o+i 

 respectivement, on peut en déduire pur diffhcntiutiun tous les autres invariants 

 différentiels du groupe. 



IJonsidérons encore un groupe G^ à trois variables x, y, z, parmi lesquelles 

 nous regardons z comme fonction de o- et y, et désignons par / un invariant 

 différentiel d'ordre j' de ce gioupe. Par un raisonnement analogue à celui de 

 la page précédente on prouve (jue le système 



dl dl 



.fe' = °' .% = •'' 



où ^ et 7 désignent les dérivées totales par rapport à x et y. définit une 

 multiplicité qui l'este invariante lorsqu'on effectue une transformation quelconque 

 du groupe prolongé d'ordre c+i de (t , . Dès lors, en désignant par 7, ,iä,^s 

 trois invariants différentiels distincts de (t, et par n l'ordre le plus élevé de 

 ces invariants, on peut affirmer que la multiplicité définie par le système 



') Cf. Sophus Lie, Vorlesungen über ÜifJ'erenüalgleklianyeu etc., p. 375. 



