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12. Soit proposé un système de (i équations linéaires et homogènes à n 

 variables 



(1) X,f= An{.r,--.x,)-^+A,2{Xi---x„) ^'^ + ' ' • + ^-(^'i •••■^■")^^ = » (i= i ...^). 



Nous supposerons, ce qui est évidemment permis, que ces équations soient i»- 

 (Upendantcs, c. à. d. qu'il n'existe aucune relation identique de la forme 



B, (r, . . . X,) X, /•+ B., {.r, ■ ■ ■ x„) XJ+ ■■■ + Bf, (a-, . . . .T„) Xf,f = o. 



Il est évident dès lors que le nombre (t sera inférieur ou, tout au plus, égal à w. 

 Si (< = », le système (i) se réduit à 



K = K = = ^ = 



dxi dx^ dxu ' 



et il n'existe que l'intégrale banale /"= constante. Supposons donc ;*< m . Nous 

 allons montrer qu'on peut former de nouvelles équations linéaires qui devront 

 être satisfaites par toutes les intégrales du système (i). En eiïet, en désignant 

 par (]> une intégrale quelconque de ce système, on aura 



Xi <i> = , X/, (I) = 0, 

 d'où X,- (Xj, a>) = , Xj. (X; Ü)) = , 



et, par suite, X,- (X',, 0) - X;, (X, ai) = 0. 



Or, on trouve, par un calcul facile, que dans l'expression X;{Xi.f)- Xi,{X,f) 

 toutes les dérivées du second ordre disparaissent, en sorte qu'on aura 



X,- (X./-) - X,. (X,/) = ^ (X, A,.. - X,. ^,0 ^^ . 



En posant, pour simplifier l'écriture, 



X,(X,,./)-X,,.(X,-n = (X,X,.), 



on aura donc le résultat que voici: 



Toute intégrale du système (1) vérifie en même temps les équations 



(2) (X,XO = o {!,Jc= i...fi), 



qui sont toutes linéaires et du premier ordre. 



Entre les équations (2) il peut s'en trouver quelques-unes — nous les dé- 

 signerons par X^'f=o,...,X'f,J = o, — qui forment avec les équations (1)1111 

 système 



(3) x,f =(),■■■, Xftf = , XiY = 0, ■ • ■ , x;, /■ = , 

 d'équations indépendantes. Formons alors les nouvelles équations linéaires 



(X; XV) - , (Xa' XJ) = (/ = I . . . 1«, ; /,;, ;■ = I . . . jM,) , 



