Systèmes complets et invariants différentiels. 29 



et désignons par X"f=o,--.,X^[f=o. celles d'entre elles qui constituent avec 

 les équations (3) un système 



(4) A',/'= 0. ■••, A>/ = 0, AV/'= o,---,A'ji./'=o, AV7=o,-.., AV;/'= o, 



d'équations indépendantes. Celui-ci sera encore vérifié par toutes les intégrales 

 du système (i). En recommençant sur le système (4) les opérations faites sur 

 les systèmes (1) et (3) et en contiimant de la sorte, on arrivera évidemment 

 une fois à un système 



(5) ri/-=o, ¥2/"= 0, ,i;/'=o, 



d'équations indépendantes, admettant les mêmes intégrales que le système pro- 

 posé (1), et tel, que les parenthèses (Y-, Y,,) s'expriment sous la forme 



'/ 



( y, Y.) = ^ ce,,, {x, ■ . ■ X,) . 1: f (/ , /c = I . . • q) . 



D'après la définition citée p. 10, le système (5) est un système complet. 11 est 

 donc démonti'é que totit système de la forme (1) jjew^ être ramené à un système 

 complet admettant les mêmes intégrales que le premier système. 



Si le nombre q est égal à n , le système (5), et par suite aussi le système 

 proposé (1), n'admettra que l'intégrale évidente /"= constante. Si, au contraire, 

 q<n, nous verrons plus loin qu'il existe n-q intégrales distinctes de ces systèmes. 

 Remarquons dès à pi'ésent que, si l'on entend, poiu' chaque valeur de i, par 



(6) fnJii, ,A»-i. 



un système d'intégrales indépendantes de l'équation r,/'=o, toute intégrale de 



(5) pourra s'exprimer au moyen des fonctions contenues dans l'un quelconque 

 des systèmes (6) et, in^'ersement, toute fonction qui satisfait à cette condition 

 sera une intégrale du système (5). 



13. Soit donné un système complet de q équations 



avec les relations 



î 



(8) (X, A.) = ^ «,„. a;/ (/, k^i...q). 



»=1 



Nous allons démontrer les deux propositions suivantes: 



F Si l'on fait un changement de varialiles défini par les équations 



(9) Vi = fi (xi • • • Xn) (i = I ■■■n), 



