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résolubles par rapport à Xy...x„, le système (7) sera remplacé par un nouveau 

 système complet et toute intégrale du premier système sera transformée en une 

 intégrale du second. 



En effet, en désignant par [F] ce que devient une expression quelconque 

 F lorsqu'on y substitue yi---y„ aux variables Xi...x„ suivant les relations (9), 

 on aura 



x/- = [XA]f'+[x./.]^+ +w^=Ym (--.), 



en vertu des relations (9), ou bien 



(10) [AV]=r,[/J (/=i...ry). 



Par le changement de vaiiables défini par les équations (9), le système (7) se 

 trouve ainsi remplacé par le système 



(11) YJ=o,Y^f=o, .YJ^o. 



Les équations (7) étant indépendantes, d'après l'hypothèse, les égalités (10) nous 

 montrent qu'il en sera de même des équations (11). D'autre paît, si l'on a 



Xi (/) = , X2 (/> = , , A^j (Z) = , 



on aura aussi, en veiiu des dites égalités, 



Y, [f/>] = 0, Y^[(l>] = 0, , Y,[(l)] = 0, 



c'est-à-dire que toute intégrale du système (7) sera transformée, par le change- 

 ment de variables (9), en une intégrale du système (u). 



llemplaçons maintenant dans les égalités (10) /"par X,,f. Il vient 



[XuX,f)] = Y[X,f] = Y,(IU/']), 



d'où, en permutant les indices, 



[x.(A',/-)]= r,.[A,/]= YiYin), 



et, par suite, en retranchant la seconde équation de la première, 



[A,. {X,f) - X, {X;f)] = Y ( r,. [/■]) - r. ( Y [/■]) • 



un en conclut, par Tintermédiaire des formules (8) et (10), que les expressions 

 ^1/ ••• Yqf vérifient les relations 



s=l 



ce qui prouve que les équations (11) constituent bien un système complet. 

 La proposition 1" est donc démontrée. 



