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E. LiNDELÖr. 



g 



Z>f = ^ + a-,,+1 ^ 4 + C,„, 1^ = T «,. X/ (i = I . . . g) . 



Les expressions Zif...Z,J étant linéairement indépendantes, comme on le voit 

 immédiatement par leur forme, on en conclut, en se reportant à la proposition 

 2'^ du numéro pi'écédent, que les équations 



(15) 





■^2/ — x^r i-f^2,ï+i 



àf 



dxo 



àf 



ÖX,j + i 



àf 





^'''-t.+^-'+'te. 



« + + '-"l^. = <'' 



constituent un système complet admettant les mêmes intégrales que le système 

 (7). Nous appellerons, suivant l'exemple de M. Gouksat, système jacohien tout 

 système complet de la forme (15). 



Le système (15) étant complet, on aura des relations de la forme 



Zc (Z>~n - Zl (Zf) = 2 fe Zf ii.,Jc^l...q). 



s=l 



Ur, on a 



Zi Xi = I ; Zi Xk = (i,Jc == I ■■■q: isik). 



On en conclut, en substituant, dans les relations précédentes, à /' successive- 

 ment les variables Xi...Xg, 



ßi/.-,- = (i,k, s = i ---q), 



et, par suite, 



(ZiZi) = (i,k = i ■■■q). 



Nous exprimerons, avec M. Lie, cette propriété des systèmes jacobiens en disant 

 qu'ils sont en involution. 



15. Après avoii" montré que tout système complet peut être ramené à 

 un système jacobien, nous allons nous occuper de l'intégration d'un tel système 

 (15). Considérons une des équations du système, soit Zif=o, et supposons 

 qu'on en ait obtenu une intégrale d) , distincte des intégrales evidentes x^-.-x^. 

 En faisant /= dans les identités 



Z,{Zf)-Z(Z,f) = o (i = 2...q), 

 il vient 



Zi(Zi(i)) = o = 2. ..g), 



