Systèmes complets et invariants niFFÉP.ENTiELS. 33 



ce qui nous montre que les fonctions 



Zid), Z.,<I)' ,Z„(l) 



sont des intégrales de Z^f-o. De même les fonctions 



(/),,; = Zl,. (Zl (D) , (/),„,, = Z^ (Ih !, (f* , ^- , ' , ■ ■ = 2 • • ■ 9) 



satisferont toutes à l'équation Zif=o. Connaissant une intégrale de cette 

 équation on pourra donc, en général^ en déduire une suite d'autres. Cette 

 propriété importante appartient éAidemment à tout s3'stènie en involution. 



Supposons maintenant que, de Téquation ZJ'= 0, on ait obtenu n-^q intégrales 



/i+i (;»'i • ■ • X.,) , fj+2 (ari • • • .r„) , , /"„ {x\ ■ ■ ■ x„) , 



formant avec .t.. •••rf', un système de fonctions indépendantes. Toute intégrale 

 de Téquation Z^f-o et, par suite, toute intégrale du système (15) pourra 

 s'exprimer au moyen des quantités 



(16) X2, a:,,/i+i /■«. 



Soit donc, dans les équations (15), f une fonction de ces quantités, 



f= /'(»2 ■••■'•». /i+i ■••/"")• 

 La première équation se réduit à une identité et les autres deviennent 



(.7) z^f^l+zu.%^^-, ,-zfJi = F:f^o a = ....,). 



Or, les Zif„ étant des intégrales de l'équation Zif—o, d'après ce que nous 

 avons vu plus haut, on pourra les exprimer en fonction des variables (16), et 

 les expressions F^f ne dépendront, par suite, que de ces variables. Dès lors, en 

 désignant par ih une intégrale quelconque du système (15) et par ö> la valeur 

 de </> en fonction des variables (16), celles-ci n'étant liées par aucune relation, 

 on aura identiquement 



jF; * = , F3 (/> = , , F, r/i = . 



Réciproquement, toute intégrale du système 



(iS) KJ=o,F,f=o, ,F,f=o, 



qui ne dépend que des variables (16), se changera, en vertu des relations 



fi = fii^\---Xn) (/ = q+i, ■■■}>), 



en une intégrale du système (15). 



Des égalités (I7) on déduit, en suivant la même marche qu'à la page (30), 



F (F,n - F, (Ff) = Z {Z,f) - Z, (Zf) ii,Jc = 2...rj). 



Or, les seconds membres s'évanouissent identiquement, d'après l'hypothèse, et 



