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comme il n'existe aucune relation entre les variables (16), il s'ensuit qu'on aura 

 aussi identiquement 



(F^F,) = o {i.,h = 2...q). 



Le système (18) est donc un système complet et par suite, d'après sa forme, 

 mi système jacobien, d'oii la proposition suivante: 



Etant donné un système jacobien de q équations à n variables, en 

 intégrant une de ces équations, Vintégration du système se ramène à celle d'un 

 système jacobien de q-\ équations à n-i variables. 



Appliquons maintenant ce résultat au système (18). Par l'intégration d'une 

 quelconque de ses équations il sera ramené à un système jacobien de q-2 équa- 

 tions à n-2 variables; ce dernier système se réduira, par le même procédé, à 

 un système jacobien composé de g-3 équations à n-3 variables, et ainsi de suite. 

 Finalement on arrivera à un système consistant en une seule équation à n-g'+i va- 

 riables. Celle-ci contenant nécessairement une des dérivées v- — r^ , elle ne 



saurait être identique. Par suite elle admettra n-q intégrales distinctes, les- 

 quelles, exprimées en fonction des variables primitives x^...x„, nous fourniront 

 les intégrales communes des équations (15). Donc: 



Un système jacobien de q équations à n variables possède n-q intégrales 

 distinctes. 



Nous avons démontré plus haut que tout système complet peut être ramené 

 à un système jacobien admettant les mêmes intégrales. La proposition précé- 

 dente peut donc être étendue à un système complet quelconque, ce qui nous 

 fournit le théorème fondamental suivant: 



TuÉORÈME I. — Tout système complet composé de q équations (i n variables 

 possède n-q intégrales distinctes, dont toute autre intégrale du système sera 

 fonction. 



Inversement, on aura le 



Théorème IL — Si q équations linéaires indépendantes à n variables 

 admettent précisément n-q intégrales distinctes, le système formé par ces équa- 

 tions est un système complet. 



En effet, si le système n'était pas complet, on aurait, en le complétant, 

 un système complet contenant plus de q équations et qui devrait admettre 

 n-q intégrales distinctes, ce qui est impossible d'après le théorème I. Il faut 

 donc bien que le système formé par les équations données soit un système 

 complet, c. q. f. d. 



16. La recherche des intégrales du système jacobien (15), d'après la mé- 

 thode que nous venons d'exposer, exige, en résumé, l'intégration successive de q 



