Systèmes complets et invariants différentiels. 35 



équations linéaires contenant, tout au plus, n-tj+i variahles (en ne comptant pas 

 celles des variables qui jouent le rôle de paramètres, p. ex. X2.--x,, dans la 

 première des équations (15))- La même méthode s'applique sans modification 

 essentielle à tout système complet 



(19) X, /■ =An^^ + --+ Au. 1^ = = 1... fj) , 



qui vérifie les relations 



c'est-à-dire à tout système en Involution. Considérons, en effet, une des équa- 

 tions (19), soit Xi/'=o, et supposons qu'on en ait obtenu «-1 intégrales dis- 

 tinctes, /■,.../;,_,; les raisonnements du n" 15 prouvent que le système (19) 

 pourra être remplacé par le système 



x.a| + x.a^ + + x.^,_,| =0 = ....,), 



dont les coefficients s'exprimeront tous au moyen de /', . . . /;, . , et qui sera égale- 

 ment eu involution. Pour obtenir les intégrales du système (19) on aura donc 

 à intégrer successivement 7 équations linéaires contenant (dans le cas le moins 

 favorable) respectivement n, n-i, ■■■ , >i-f/+i variables. 



Clebsch ') a indiqué une méthode élégante poui' la réduction d'un système 

 complet de forme quelconque à un système en involution. (îonsidérons le sys- 

 tème (19) et posons 



(■JO) X;f= X,lf,B,r+X;((^Jl,f+ + X;if,B,J (/= I...7), 



(fi-(f,j désignant des fonctions de o^f.x.,. Tant que ces fonctions satisfont 

 à la condition 



X, 9)1 Xl (fg 



(21) 



+ 0, 



Xg ipi ■ ■ X,j (fq 



les équations (;io) pouri'ont être résolues par rapport à B^f.-.BJ', et il résulte 



de la pi'oposition 2" du n" KJ que les équations 



(■-32) !?,/•= o,-Bs/-=o, ,B,J=o, 



formeront un système complet équivalant au système (20). Un aui'a donc des 

 relations de la forme 



(23) (B,- B.) = B, iB,n - -B/. (B./) = 2] ""■- ^^f (*' /«= I •••'/) ■ 



.•.=! 



') Clebsch, IJiiitr d'u- yhiiiilkini' Inteijrcdion liiiKirir parlitlhi- Diffirni/iidijJrirliiintji u. Crelles 

 journal, Bd. 65. 



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