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Or on trouve, en substituant successivement à /', dans les relations (20)^ les 

 fonctions Vi-V.j et en ayant égard à la condition (21) imiiosée à celles-ci, 



(24) Bi (fi— I , Bi y;,. = {i^h—- 1 ■■■q\ is k). 



En faisant les mêmes substitutions dans les égalités (23), il s'ensuit 



«.is = {iih^s = i ■•■q), 



et, par suite, 



{BiB,) = (i,h=i.-.q). 



Le système (22) est donc en Involution. En outre on connaît q-i intégrales 

 de chacune de ses équations. Les égalités (24) nous montrent, en effet, que 

 l'équation B-^f=o admet pour intégrales les fonctions <P2,Vs, --jV.^, l'équation 

 B2f=o les fonctions Vi, Vh, ■■■, V.^, et ainsi de suite. 



Si l'on prend, en particulier, pour <f\. ■ v.^ , q variables du système proposé 

 pour lesquelles la condition (21) soit remplie, le système (22) correspondant 

 sera un système jacobien. 



Remarque. Si, au lieu de chercher toutes les hitégrales d'un système en 

 involution ou d'un système jacobien, on n'en cherche qu'une seule, la méthode 

 précédente se simplifie notablement. Nous n'entrerons point dans cette question, 

 qui n'appartient pas directement à notre sujet et dont on trou^'e une exposition 

 détaillée dans l'ouvrage déjà cité de M. Goursat '). 



17. Considérons, avec M. Zorawskt -), un système complet 



tel que les parenthèses (X,- X,,) s'expriment sous la foi'me 



ä 



(25) (X; Xa) = ^ «,7... X... f (i= i---ri-l;]c = i+i,--(j). 



s=;4-i 



D'après ces relations les équations 



(26) X<+i/'= o,X,+2f= 0, , X,/ = 0, 



i étant un quelconque des nombres i.-.q-i, formeront, séparément un système 



complet. Soit <l) une intégrale de ce système. En faisant f=(l> dans les 



identités 



X,- (X./) - X., (X,f) = «,-.«,.-+i X;+,/^+ • ■ • + ce,., XJ {s = /+I • . • ^) , 



il vient 



XsiXi(D) = o (s = i-\-i,---q), 



') Voir p. 66 et p. 347. Voir aussi: Jacûbi, Voiiemngen über Dynamik. Berlin 1884, pages 

 256—263. 



') Kasimir Zohawski, Über Biegtinysiiu-arianten, Acta Mathematica, t. 16 p. 44. 



