Systèmes complets et invariants différentiels. 37 



c'est-à-dire que Texpression JV,</> est aussi une intégi'ale des équations (26). Il 

 en résulte que le sj'stème considéré pourra être intégi'é d'après la même méthode 

 (jue les systèmes en involution, à condition qu'on commencera par la dernière 

 équation du système en remontant successivement jusqu'à la première. En effet, 

 si Ton a trouvé un système 



/1 r /2j ) fii-'i + i ; 



d'intégrales indépendantes des équations (26), il ne lestera, pour achever l'inté- 

 gration du système 



Xif= , A',+1 /' = , ,Xjf=o, 



(]u"à intégrer l'équation 



dont les coeflicients. d'après ce qui précède, s'exprimeront tous au moyen de 



/1) /2) • ■• ) lll-q+i • 



18. Nous avons vu que tout système complet peut être ramené à un 

 système en involution et, en particulier, à un système jacobien. Nous ferons 

 connaître une autre forme du système, proposée par Weilek, laquelle, en vue 

 de l'intégration, présente à peu près les mêmes avantages que la forme jaco- 

 bienne, mais qui s'établit plus facilement que celle-ci '). 



Considéi'ons le système (7) et tirons de la première des identités 



une des dérivées, soit :t^ . en fonction de X, f et des autres dérivées. En suh- 



stituant l'expression obtenue dans les identités suivantes et en ordonnant conve- 

 nablement les termes, on aura de nouvelles identités de la forme 



n 



(28) X,f+Q,X,f = ^BÏ''^l ii=2...q). 



s=2 "« 



Eésolvons la premièie de celles-ci par rapport à une des dérivées, soit y- , et 

 substituons le résultat dans les identités suivantes; il vient 



(29) AV+ f^i X, f+ A, X, f = y Bf^ % {i=Z-q). 



') Cf. A. Mayee, Ueber dk Wellev'sdu' Integrationsmdhoâc der partielkn Diff'ermtialgleichun- 

 gen I. Ordnung, Mathematische Annalen, Bd. IX, p. 347. 



