Systèmes complets et invariants différentiels. 39 



adinetleiit pour intégrale une certaine fonction (l>. elles admettront aussi l'inté- 

 grale Zi0. On en conclut, en remontant au système (30), que si est une 

 intcynile des q-i dernièfes équations 



/i + \f = 0, Zi+-2f= 0, , Z,f= 0, 



de ce système, il en sera de même de Vexpression U- • 11 résulte de cette 



propriété qu'on pourra intégrer le système (30) en commençant par la dernière 

 équation et en remontant successivement jusqu'à la première. Les équations à intégrer 

 contiendront, tout au plus, n-qi-i variables (en ne comptant pas celles des va- 

 liables qui jouent le rôle de paramètres). On voit, par suite, que l'intégration 

 d'un système de Weiler et celle du système jacobien équivalent exigent, en 

 général, des opérations de même ordre. 



11). Le résultat du numéro précédent s'étend, d'après une remarque faite 

 par M. ZoKAwsKi '). à tout système complet 



Z.^=5n| + S,.3| + + B..I^_=o 0=....,), 



qui véritie des relations de la forme (31). Ou peut le démontrei' comme suit. 

 D'après les dites relations, les q-i équations 



Zi+i /■ = , Zi+>f = , ,Z.,f=o, 



i étant un quelconque des nombres i...q-i, formeront séparément un système 

 complet. Désignons par 



un système d'intégrales indépendantes de ces équations et ajoutons l'éiiuation 

 Z,/'=o. Le système 



Z:f = , Z.+i /■ = , , Z,/' = , 



ainsi obteiui, étant encore complet, admettra n-q+i-i intégrales tlistinctes, soient 



lesquelles s'exprimeront toutes au moyen des intégrales ©j . . . (/>„_,^+, du système 

 précédent et qui se déterminent en fonction de celles-ci en intégrant l'équation 



(33) ^'«'^,^,+^.'^./4+ + ^-<^-.-...-4-.. = «' 



Or, il résulte des identités 



') Ada Matliematka, t. 16 p. 45. 



