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E. LiNDELÖF. 



que les expressions /?^,- f/), . . . Z, f/>„ ,,+,■ sont proiiortionnelles à certaines fonctions 

 des quantités (Di ■ ■ . 0,,-,,+i , en sorte que le quotient de deux quelconque d'entre 

 elles s'exprimera au moyen de ces quantités. En divisant l'équation (32) par 

 un de ses coefficients, elle sera donc transformée en ime équation qui ne dépend 

 que des variables ä)i... ö>„_,+, , d'oii l'on conclut qu'on peut intégrer le système 

 considéré dans le même ordre que les systèmes de Weiler, c'est-à-dire en commen- 

 çant par la dernière équation et en remontant successivement jusqu'à la première. 



20. Pour déterminer les intégrales d'un système complet d'après les mé- 

 thodes précédentes, on aura à intégrer successivement plusieurs équations linéai- 

 res. On doit à Mayeu une méthode ingénieuse laquelle n'exige que l'intégra- 

 tion d'une seule équation linéaire. Cette méthode est fondée sur le théorème 

 suivant: 



Théokè51e III. — Soit x°...xj' un système de valeurs des variables Xi...x„ 

 au voisinage desquelles les coefficients du système jacobieu 



(33) 



df 



àf 



oxi '•' o.r\+\ dx„ 



+ 



+a,„^ = o 



{i 



<i) 



se comportent régulièrement; il existe n-q intégrales ipi,ip2,-- ? '/'«-ï '■^^ ^^ 



système, holomorplies ou voisinage du point x^...x,^ et se réduisant respec- 

 tivement à iCj+i , x,j+2, ,x„ pour 



r 



Pour abréger, nous rattachons la démonstration de ce théorème aux idées 

 de Mayek, d'après les indications de M. G-ouksat ^). 



Posons, tout en conservant les variables 3;^+,, ir^+^j •■■, ■'■.,, 



(34) a;i=%"+yi, ^2 = a'2"+2/iV/2: ,a;j = a;,/+y/iv/,j. 



Cette substitution remplacera le système (33) par le suivant 



(35) 



ou 



(36) 



yr- ^f 4.t: "^f A- 



ox„ 



Yf- ^f -H ^f ^ 



'+'**-dr; = "' 





i = 2+-1 , 

 k =■ 2 ■■■ 



') Loc. cit. p. 60. 



