Systèmes complets et invariants différentiels. 41 



les fonctions mises entre crocliets étant exprimées au moyen des variables 

 .'/i ■ ••y.j) •'■.y+i--^'„- il résulte de la proposition 1" du n" 13 que les équations 

 (35) constituent un système complet équivalant au système proposé. La forme 

 même du système (35) fait voir, dès lors, que c'est un système jacobien. 

 Considérons, en particulier, la première des équations (35) 



^•^=f + ^'.-L.+ ^-^-I^r"- 



D'après Thypothèse admise relativement aux coefficients C, ,, du système proposé, 

 on pourra écrire les coefficients de cette équation sous la forme 



(37) iSi,, = i'a+2/2is-2 + + //î^% (' = '7+1, •■■"). 



les F désignant des séries procédant suivant les puissances entières i)ositives 

 des quantités 



(38) yi-ViV-i, ,.'/1»/,, a-,^+i-a;,,Vi, ,x„-x„'>. 



Il s'ensuit, en pai'ticulier, (ßie ces coefticieiits sont holomorphes au voisinage 

 des valeurs 



(39) .'/1 = //2 = ■ ■ • = .'/./ = , l\j+\ -.'■°+l , , Xn-X,!> . 



En se reportant au célèbre théorème de Cauchy sur l'existence des intégrales 

 des équations différentielles ^), on en conclut que, étant donnée une fonction 

 y {x,j+\ ■ ■ ■ a'„) des variables x,^.^^ ■ • ■ ic„ , holomorphe au voisinage du point .r,"^, . . . x,,'^ 

 mais du reste quelconque, il existe une intégrale, et une seule, de l'équation 

 Yif=o. holomorphe au voisinage des valeurs (39) et se l'éduisant à y (.r,^^, ...rr„) 

 pour y/i = o. Soit 0» cette intégrale. Nous allons démontrer que </» vérifie 

 aussi les autres équations (35). 



On aura, en effet, d'après la définition même de l'intégrale </>, 



</> = y (,r,+i . . . ,r„) + y, /■(»/, • ■ • »/, , .r^+i • • ■ .r„) , 

 d'où 



1\. ai = Yi- (f + y, T,,f {k = 2-.q). 



Comme 



^'^ = "--1,+ +^-Ä=^.([«-..«ig.„+ +[«.-4^,)- 



d'après les relations (36), l'expression Fj. (/> contient y^ en facteur et s'annule, 

 par suite, pour y/i = . D'autre part cette expression est évidemment holo- 

 morphe au voisinage des valeurs (39) et vérifie l'équation 1', f= , puisque le 

 système (35) est jacobien. Or, nous connaissons déjà une intégrale holomorphe 



') Cf. GoURSA'l', Lerotis .s7(/' riiUnjnttiun des rqnalioils aux drrirées parlidles du premier 

 ordre, p. 17. 



