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de cette équation qui, pour jy, = o , se réduit à zéi'o, savoir Tintégrale évidente 

 /■=0. Donc, puisqu'il n'existe, d'après le théorème de Cauchï, qu'une seule 

 intégrale qui satisfasse à toutes ces conditions, il faut qu'on ait identiquement 



Yi.(l) = o (/c = 2 • • • g) . 



Ö est donc une intégrale commune de toutes les équations (35). 



En construisant, au moyen de l'équation Yyf=o, la série qui représente 

 la fonction </> au voisinage des valeurs (39), on trouve sans peine, en tenant compte 

 de la forme (37) des coefficients de Tj /", que les variables ?/i • ■• 2/, ne figurent dans 

 cette série que par les combinaisons y], t/iy2, ■•■ ,'!/iî/,j- H ^i^ résulte que f/> est 

 une fonction holomorphe des quantités (3^). Par suite, en remontant aux va- 

 riables primitives Xi...x„, (t> se changera en une fonction (/) (ajj ..../:„) holomorphe 

 au voisinage du point Xi"--- a;, " . Cette fonction O sera une intégrale du système 

 (33), d'après la proposition 1" du n" 13, et se réduira à <f' (x^+i.-.x,) poiu' 



X'i ^=^ Xi , ^2 — '^2 ; ? "'3 — '^l ' 



Pour achever la démonstration du théorème III il ne reste qu'à spécialiser 

 la fonction ? (:<,^+i ••■■(„)• En effet, en prenant pour f successivement les va- 

 riables x,j+),x,j^2, ■..,'.r„, on conclut de ce qui précède que l'équation i\f=o 

 admet, en particulier, n-q intégrales 



holomorphes au voisinage des valeurs (39) et se réduisant respectivement à 

 x,+i, ic^jn-, ■••, a^,,, pour ?/i = o. En revenant aux variables a:, ...a'„, ces fonc- 

 tions ^/, . . . %ii„_,^ nous fourniront évidemment les intégrales ^), . . . ^l„_,J définies 

 dans le théorème III. L'existence de ces intégrales est donc démontrée. 



Dans la méthode de Mayee pour l'intégration d'un système jacobien 

 (33), on cherche précisément les intégrales particuUères fi ■ ■ ■ ifi„_,j dont nous 

 venons de démontrer l'existence. En faisant la substitution (34) et en for- 

 mant comme plus haut l'équation Fif=o, on sera ramené, d'après ce qui 

 précède, à déterminer les intégrales ï//i...^„_ç de cette équation qui, pour ?/i = o, 

 se réduisent respectivement à av^+i ■••«„. Nous allons démontrer que, l'équation 

 y, f= une fois intégrée, la détermination de ^p■^■■■ l//„_,^ n'exige que des opéra- 

 tions algébriques. 



Supposons, en effet, que, de l'équation Yj^f=o, on ait obtenu i«-7 intégra- 

 les quelconques 



/i (2/1 ■• • îk , ■%+! • • • a"") ) 1 A-î O/i ■ • • ?/« 1 ■^■«+1 • • • •^") . 



holomoi'phes au voisinage des valeurs (39) et foimant avec les intégrales évi- 

 dentes y/o . . . v/,^ un système 



