Systèmes ro.-\irLETS et invariants difpékentiels. 43 



(40) y2,yi,---,ynfi-, A. ■'• • : f>'-i i 



(le fonctions indépendantes. Pom- 2/t = o, l'intégrale f: se réduit à 



/"(o ?/2 •■•2/7. a'î+i •••«'") • 

 D'autre part la fonction /i(o ?/2 ■••?/,; V'i--V'"-,) est aussi une intégrale holo- 

 morphe de réquation l\f=o, qui se réduit à /"(o y^- ■ -y.,, ^.,+1 ■■■■-<■,) pour 

 ?/i = o. D'après le théorème de Cauchy il faut donc qu'on ait identiquement 



fi (2/1 • • • 2/7 , 3",+ 1 • ■ • .r„) = fi (0 ?/2 ■■■y.,, ■(/', • ■ • V'«-'/) ('■ = ' ■ • • «-'/) • 

 11 est toujoiu's possible de résoudre ces équations par rapport à ïî'i--- '/'»-<, cM'? 

 sans cela, on arriverait évidemment à une relation entre les fonctions (40). Les 

 intégrales ^ii--.xp„^,^ se trouvent ainsi déterminées parles équations précédentes, 

 et en remontant ensuite aux variables primitives Xy.-.x,,, elles nous donnent 

 immédiatement les intégrales cherchées i/»!-..!/',,-,, du système jacobien (33)- 

 L'intégration de ce système par la méthode de Mayer n'exige donc (]ue l'inté- 

 gration de la seule équation F, /" = 0. 



21. Reprenons le système linéaire 



(1) X./-= An{x, • • •^«) J| + + ^- (^i ■ ■ ■■^") ^, = " ('• = I • • • ^), 



considéré au commencement de ce chapitre. Pour intégrer ce système par 

 les méthodes précédentes, il faut le ramener d'abord à un système complet, 

 lequel ensuite doit être transformé en un autre système complet d'une certaine 

 forme spéciale. Nous allons montrer que l'intégration du système (1) peut 

 s'effectuer en opérant directement sur les équations qu'il contient, sans former 

 de nouvelles équations et sans aucune transformation du système. 



Considérons une des équations (1), soit Xif=o, et imaginons qu'on en ait 

 obtenu n-q intégrales distinctes 



fi{oCi ■■■x„), /;(.r, ■■■x„), ,/;,_! (r, ■■■x„). 



Nous admettrons, ce qui ne restreint pas la généralité, que ces intégrales sont 

 encore indépendantes lorsqu'on les considère comme fonctions des seules va- 

 riables Xi...œ„_i, en sorte qu'il n'existe aucune relation entre les fonctions 



(4O /i) /2! ) /i'-ii x„. 



Celles-ci peuvent alors être introduites comme nouvelles variables au lieu de 

 a"i • . . a'„ . 



Cela posé, soit dans les équations (1) f une fonction de fi---f„-i 



et remplaçons ■j\...u„ en fonction des nouvelles vaiiables (41J,; il vient 



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