Systèmes complets et invariants différentiels. 45 



Toute intégrale de l'équation clifférentielle X2f=o qui ne dépend pas de ./•„, 

 satisfait évidennnent aux équations 



(45) xr/-=o,xf/-=o, ,Xr/-=o. 



Eéciproquement, d'après l'égalité (44), toute intégrale du système (45) véritie 

 l'éiiuation X^f^o. Par suite, cette équation peut être remiilacée par le 

 système (45). — En effectuant sur les autres équations (43) les opérations 

 faites siu' l'équation A'j /"=0, on parvient également à les décomposer en 

 certaines équations aux variables fi---f„-i, analogues aux équations (45). 

 Réunissons alors toutes les équations obtenues par la décomposition du système 

 (43); on aura un système d'équations linéaires ne contenant que les variables 

 /1 ■ • ■ fu-i et dont les intégrales communes, exprimées en fonction des variables 

 primitives :i\...o:„, nous fourniront toutes les intégrales du système proposé (1). 

 Nous pouAons donc énoncer la proposition suivante: 



Étant donné un système cVcqmdions linéaires à n variables, si Ton a in- 

 tégré une quelconque de ces équations, on j^^ni ramener le système, par un 

 changement de variables et i^ar des opérations algébriques élémentaires, à un 

 système linéaire à )i-i variables admettant les mêmes intégrales que le premier. 



Remarque. Les raisonnements précédents sont encore valables lorsqu'on 

 substitue à «1 . . . «, des valeurs numériques r^i" • . . ci°, telles que les déterminants 

 d'ordre s contenus dans la matrice 



/.'.(«.0) iJ^C«!«) . . o,_.(«i«) 



ßl«) -'32«) ■ • ß,.-l(«2*) 



o, («,o) o^K) • • -'ï«-i(«/) 



ne s'annulent pas tous à la fois. En choisissant convenablement les constantes 



«1" . . . c(,° on pourra évidemment simplifier beaucoup la forme des équations (45). 



22. Poiu- etfectuer en réalité la décomposition des équations (43), il n'est 

 pas toujours nécessaire de sui^Te la méthode un peu longue décrite dans le 

 numéro précédent. Dans les applications il suffira le plus souvent d'avoir 

 l'ecours à la proposition suivante: 



Supposons qu'en rapprochant convenablement les termes, on ait réduit les 

 équations (43) à la forme 



(46) X,- f=Bn (/i • • ■ fn-i , J.:,) Fnf+ + B.o. {f\ ■ ■ ■ fn-i , x„) Fia/ =0 (i = 2 •.•/.) , 



ou 



Faf= Vui (/; • • • f,.-i) ^.+ + «p,,.,,,-! (A • • • /;,-i) ^__^ (j, ^ \ ; 



