46 E. LiNDELÖr. 



et où les quantités B^, Bi2, ■■■■, -Bia, sont linéairement indépendantes considérées 

 comme fonctions de la seule variable .r„ , en sorte qu'il n'existe aucune relation 

 de la forme 



(47) tin {f\ ■ ■ ■ /:,-i) Un + ß;2 (/1 • ■ • /;,-i) B,-, + ■■■+ /5,„,. {f[ ■ ■ ■ /;,„i) i,',„.. = o , 



à moins que les coefficients ßn, l^n, ■■■ , ßia^ ne s'annulent tous à la fois; 

 on jjourra rem]jlacer le système proposé (i) par le système à n-i variables 



Cette proposition se démontre immédiatement. En effet, en désignant par 

 n> une intégrale quelconque du système (i), exprimée en fonction de /'i--/i.-i> 

 on aura identiquement, d'après le numéro piécédent, 



Xi (D = Fil (1> . Bn + Fi2 O. Bi2 + + Fia^ f/» . J5,ö,. = o (« = 2 . • • /*) . 



Ces lelations ayant précisément la forme (47), il faut, d'après l'hypothèse, que 

 les coefficients F^xD s'évanouissent tous, d) est donc une intégrale du système 

 (4B). Inversement, d'après les égalités (46), toute intégrale de ce système vé- 

 rifie les équations (43) et par suite, d'après le n" 21, aussi les équations (1). 

 Un peut donc substituer le système (48) au système (1), c. q. f. d. 



Afin de montrer le parti qu'on peut tirer de cette proposition, nous en 

 ferons l'application à un exemple. Soit donné le système 



(-19) 



Xj = 2.3|; + x,^| = o, 



proposé par Gkaindoege ^). Pour déterminer les intégi'ales de ce système en 

 suivant la méthode que nous venons d'exposer, nous intégrons d'abord l'équation 

 XJ'—o, d'où nous tirons immédiatement les intégrales 



X'i , 2'2i Xg , (f ^= Xi X^ — X^'. 



Considérant ensuite, dans l'équation Xof =0, f comme fonction de .i'i , a^o , «3 , Ç' , 

 on trouve 



et, eu faisant la substitution ic^ — ^ 



X 



2 î 

 1 



^^|-^^'4 + (-=^-^-^ + '^).| = «' 



') Geaindorge. Mémoire sur rinléyrutioii des équations aux dérivées partielles des deux pre- 

 miers ordres (Bruxelles 1872), p. 85. 



\ 



