Systèmes cciritlets et invauiaxts différentiels. 



47 





ou encore, en réunissant les termes qui contiennent la même luiissance de x-„, 



' d.t\ ^ àx-i \dx2 dxj OXi 



Il s"agit de déterminer les intégrales de cette équation qui ne dépendent pas 

 de a;-,. En se reportant à la proposition démontrée plus haut, on voit immé- 

 diatement qu'on les obtient par Tintégration du système 



contenant les seules variables .fj, x^, .fa, y. Ce système se réduisant à 



df df df 



fiXi 0X2 OX-i 



on en conclut, ipie le système (49) admet l'intégrale 



et que toute autre intégrale du système s'exprime en fonction île </ . 



A titre de comparaison, nous allons maintenant intégrer le système (49) 

 d'après la méthode ordinaire, en le ramenant d'abord à un système complet. 

 Formons à cet eiïet l'expression (XjA'',.); on trouve, après tiuelques réductions, 



{X,X2)^2X^ 





2X,XJ. 



En posant 



X,f=(x^^)^^--^ , 



on sera donc ramené au système 



X,/-=o, X^f^o, X,f=o. 

 Formons maintenant les expressions (XjXg) et (XoXg); on aura 



(X,X,) = x,^£^, (X,X,) = o, 



et par suite, en posant X^ f= t- , on pourra remplacer les é(iuations (49) par 



0X3 



le système des quatre équations 



X,f= 0, X2f= 0, X3f= 0, XJ= 0. 

 Les parenthèses (X1X4), (XjX,) et (X3X4) s'annulant identiquement, on voit 

 que ces équations forment un système complet. Celui-ci se réduit au système 

 plus simple 



lli; (li3RARY 



\3C 



.^ ^ v; 



<6 



df df df , , df 



dx. 



dx 



' dxi 



dXr. 



df df 



'-é-'^'^dx^'' 



