48 E. lilNDELÖF. 



lequel est équivalent au système jacobien 



dx2 ' dx^ ' âxi ^5 dx^ ' ddi 2xr, dx-^ 



Il s'agit d'intégrer ce système. — Les trois i^remières équations nous donnent 

 immédiatement les intégrales 



Considérons donc, dans la dernière équation, /' connue tonction des seules va- 

 riables Xi et f; elle deviendra 



et on en conclut, comme plus haut, que toute intégrale du système proi)osé 



(49) s'exprime en fonction de l'intégrale f^x^^Xi-Xô'. 



23. La méthode nouvelle que nous venons d'exposer présente des avan- 

 tages tout particuliers lorsqu'il s'agit de calculer les invariants différentiels d'un 

 groupe continu en partant de ses transformations infinitésimales. Considérons, 

 en effet, un groupe continu à r paramètres G . engendré par les transformations 

 infinitésimales indépendantes 



^if, ^if, > ^rf- 



Nous avons montré, dans le n" 10, que les invariants différentiels du groupe 

 G (relatifs à une certaine division des variables) jusqu'à l'ordre i- inclusive- 

 ment se déterminent par l'intégration du système linéaire 



(50) Al f=^o, X2 f=o, , A,, f - 0, 



les X f désignant les ti-ansformations infinitésimales obtenues en prolongeant 

 1- fois les Xf (suivant la division admise des variables). 



D'après \m théorème général cité dans le n° 1, les expressions Xif...X,.f 

 vérifient des relations de la forme 



(51) (X,X,.) = X,- (X,f) - X, (X,n = ^ Ca. XJ (/, /. - I . . . r) , 



les C',v,, désignant certaines constantes, et nous avons vu p. 23 que ces rela- 

 tions entraînent les suivantes 



(■)• M V^ (v) 



(52) (x) xl ) = 2j <^'*« ^^' f ('■' '^ = I ■■■»•) • 



