Systèmes complets kt invariants diffébentiels. 49 



Or, il se peut que les expressions Xj/". .. X,/ se déduisent toutes de certaines 

 d'entre elles, soient X^ f...X^J, de manière que, si l'on forme la suite 



X^f, (X^X,,^), (X^.(X^.X^^)), (/,L,/,...= i...ä), 



toute expression X,/' sera une fonction linéaire à coefficients constants des 

 expressions contenues dans cette suite. Alors, d'après les relations (51) et (52), 

 Xj^y. . . X^^^f se déduisent de la même manière des expressions X^'Y- ■ ■ ^jf.V ; 

 et on pourra, par suite, remplacer le système (50) par le suivant 



■^fij - ' ^^1«,, / — , , A,,^ / — . 



Ainsi, pour calculer les invariants différentiels du groupe G, on n'aura à pro- 

 longer que Xfi f...X(iJ, et on pourra laisser de côté les autres transformations 

 infinitésimales du groupe. Le prolongement exigeant souvent des opérations 

 assez longues, on voit que l'emploi de notre méthode fournira, dans plusieui's 

 cas. une réduction notable des calculs nécessaires. 



CHAPITRE IV. 



APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES A QUELQUES GROUPES PARTICULIERS. 



Nous allons expliquer par quelques exemples les méthodes exposées plus 

 haut pour le calcul des invariants différentiels, ainsi que la nouvelle méthode 

 d'intégration des s)'stèmes linéaires que nous venons de propose!'. 



24. Soit donné le groupe linéaire à deux variables 



\y' = aiX-\-\y + Ci. 



Nous allons calculer ses invariants différentiels successivement d'après les deux 

 méthodes exposées dans le n" 10. — En appliquant la méthode de M. Tresse 

 on aura à pi'océder comme suit. 



Définissons y en fonction de x en posant 



(2) y-îio = »/1 ix-x^) + ^2 {x-xof + , 



oii Ton a écrit y, à la place de M Vi • On aura alors entre y et :/' une 



relation semblable : ' ' '- ■• '' = "■'' 



(3) y - yô - yî {x - xô) -f- yi {x - x^f + , 



