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•>^o et ?/o' ayant les significations 



a-o =aXo+ hijo + r, y^ = a^ x^ + ?y, % + c^ . 



Il s'agit (le déterminer les coefficients y^^y-î, — Ecrivons à cet effet les 

 éqnations (i) sous la forme 



{ x'-xo - a (x-Xo) + b(ii -ifo) , 

 \y'-yo-ai{x-Xo) + bi 0/ - !io) , 



et remplaçons ?/-?/u par l'expression (2); il vient 



x'-Xo =(a + i 2/1) (x-Xq) + h i'2(x-Xo)^ + b y^ {x-x^)'^ + , 



y-y^ = («1 + ^i yy} {x-x„) + 6, y^ix-x^y -t- b^y^ {x-XaY-\- 



En substituant ces expressions dans le développement (3) et en égalant ensuite les 

 coefficients des mêmes puissances de x-x^ dans les deux membi'es, on obtiendra 

 un système d'équations linéaires dont nous écrirons ci-dessous les cinq premières: 



f'i + ^2/i =2/i'(a-|-ft2/i), 

 ''1 Vi - yî '-* y 2 + y2ia + byy, 



(4) biy:, = yiby3 + 2y2'by2{a + by,) + y.^'{a + by,f, 



^>iyi-yibyi + y2[b^y2^ + 'ibyAa + byt)] + y.;[ ] + »y/ (r< + ?>2/i)'', 



hy:,-yi^y-. + '^yH^'^ViVi + byi {a + by^)] + y.; [ ] + iyi'btjiia + by^f-]ry-{a-\-byC)\ 



lesquelles déterminent les cinq premiers coefficients du développement (3). 

 On aura maintenant à disposer des paramètres «, i, c, «i, i, , r, , comme ila 

 été dit dans la règle p. 24. A cet effet nous réduisons d'abord Xq et î/o' à 

 zéro, en posant 



c = - (0.T0 + b y a) , Cl - - ((Il Xo + bi _?/i,) . 

 Puis, si l'on fait 



«I + ''1 ?/i = , /*, »/2 = (« + byi) 2 , 



les deux premières équations (4) nous donnent ,?// = et y.,' = 1 . On pourra 

 encore réduire «/n' à zéro et y/ à l'unité en faisant successivement 



,, _ 4b^yi ;, _ „ (4]h]hzMi)^ . 

 "1 — — s^- ' t' - 2/3 3 



y i 4^2 



liCs paramètres étant ainsi complètement déterminés, la dernièi'e des équations 

 (4) nous doinie 



2/3 — ; 0.3 ' 



(42/2^4-52/3")^ 



d"où l'on tire enfin, en supprimant un facteur numérique, l'invariant différentiel 

 du cinquième ordre du groupe (1) 



