Systèmes complets et invariants différentiels. 



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Proposons-nous maintenant de calculer l'invariant / en partant des trans- 

 formations infinitésimales du groupe (i). Ce sont les six transformations sui- 

 vantes 



Comme X^f= (X3 X5) -f Xi/", 



on n'aura à considérer, d'après le n" 23, que les cinq premières de ces trans- 

 formations. En prolongeant celles-ci cinq fois, on trouve 



x/^V= 



àf ^i^)._àf x^''f=x~f- + ^ 



dx 



xrf= 



dy 



ày dy 



öif' 

 L'invariant cherché se détermine par l'intégration du système linéaire 



(5) Xi<^y=o, x,^=^v=o, x3'^v=o, x/y=o, x/v=o. 



En vertu des trois premières équations, lesquelles se réduisent à 



df df df 



5I = "'(r^ = "'^ = "' 



on pouiTa écrii-e l'expression Xs''''/' sous la forme -y Yif-Yof , où 



r.^=3.",f +4r|:. + 5,-^, + 6, 





ày" ' '^^ ' d,r ' '^^" ' '^"^ ^V'' 



^^f=^y"'îv'-- + loy'V"-^, +(ior'+ i52/'v*o 



et comme, d'après l'équation j^7 = o, l'intégrale du système (5) ne dépend pas 



.(5) 



de y, l'équation X^ f = o se décomi:)ose, par suite, en Fi/' = o et Yof^o. Le 

 système à intégrer devient ainsi, après une réduction facile, 

 „ àf „.df (4) df (5) df 



•' ày ^^ dy ^-^ dy^^^ -^ ày^^^ 



y dy'"^ y , (4) +0^ 



..'■■2àf 



ày 



.,' ..'■■ df 



ày 



(5) 



, 



3y""x7^ + 10/ y'" 714") + (10!/'"- f 152/'V 



dy 



dy' 



dy 



(5) = 



