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Si l'on prend pour nouvelles variables les intégrales 



'" (1) (5) 



„ _«/ . _r „ _r 



(le la première de ces équations, on sera ramené au système 



àf , àf , df 



oàf , df , df 



La seconde équation nous donne les intégrales 



et en prenant celles-ci pour variables, la première devient 



àf . df 



d'où l'on tire enfin l'invariant ' \ . En remontant maintenant aux variables 

 primitives, on trouve "*"' 



u^ ^ 9^5-45-^3^4 + 40.g3' _ 9y"'/^-45y"?r/' + 40y" '' ^ j 

 «4^ (324-5^3")^ (32/ 2/ -52/ ")ï 



D'après le n" 11, toute relation /"(7) = fournit une équation différentielle 

 qui restera invariante par rapport aux transformations du groupe linéaire. En 

 particulier, les équations 



i> (41 i"'2 



W4 = 3y y -51/ =0, 



V, = 9y"''iß-A5y'y"y''' + Aoy"" = 0, 

 seront invariantes. La première d'entre elles représente géométriquement l'en- 

 semble de toutes les paraboles du plan, la seconde est l'équation différentielle 

 bien connue des sections coniques. 



Pour calculer l'invariant du sixième ordre du groupe (1) on n'aui'a qu'à 

 pousser les calculs précédents un pas plus loin. En appliquant la seconde 

 méthode, on obtient cet invariant sous la forme 



, 92/"^/'-63?r^r/'+i05?/"? /"^ /^-35r ^ 



{^y-y'''-by"r 

 En ayant égard aux développements du n" 11, on voit alors que les expressions 



dli _ (U^ ^ _ (Us 



^2 - ^ ' 4 - ^^ ' ^*- dl 



seront toutes des invariants différentiels du groupe (1), et que tout autre inva- 

 riant de ce gi'oupe s'exprimera en fonction des invariants /, /1 , L etc. 



