Systèmes complets et invariants différentiels. 58 



25. Proposons-nous en second lieu de calculer les invariants différentiels du 

 second ordre relatifs au groupe formé par les transformations des coordonnées 

 rectilignes de l'espace à trois dimensions. Ce groupe est engendré par les six 

 ti'ansformations intinitésimales 



" dx il •> dx dy 



parmi lesquelles les trois premières représentent les translations suivant les 

 axes des coordonnées, et les trois dernières les rotations autour de ces axes. 

 En vertu de la relation 



(x,x,) = x«/-, 



on pourra laisser de côté la transformation X^f et, par suite, on n'aura à pro- 

 longer effectivement que les transformations XJ et X-J . En considérant z 

 comme fonction de x et y, et en posant 



dz _ àz _ ^^ _ ^"■^ _ ^ ^ _ / 

 d^""^^' ^j~'^' d^~*'' âxdy " ^ ' df ' ' 



on trouve 



et le système à intégrer devient 



(6) 



àf àf , df , ,, .df df 

 ^dp-^d^+''dr + ^-'U-''i='^ 



De la première équation on tire sans peine les intégrales 



Vi = P"+ î" . V2 = r+t , <fs = rt-fT , (p^ = ;/;- + 2pqs + q^t , 

 et en considérant f comme fonction des seules variables Vj , y-j , V;. , ^4 , on pourra 

 écrire la seconde équation sous la forme 



Or, le rapport des coefficients q et ps + qt ne vérifie pas la première des 

 équations (6) et, par suite, ne s'exprime pas en fonction de Vi,V2, Va, V 1 • En 



