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se reportant à la proposition du n" 22, on en conclut immédiatement que les 

 invariants cherchés doivent vérifier séparément les équations 



La seconde de ces équations admet pour intégrales 



n>. = ^^ V'^^-Ç^' '/'3 = ^, 



et la première s'écrira, en prenant V'i , '/'•j , ^3 poiu- variables, 



Cette équation admettant deux intégrales indépendantes, il existe deux inva- 

 riants distincts du second ordre de notre groupe. En particulier on aui'a les 

 invariants suivants 



„ _ ^^ 2 _ ^3 _ rt-s' 



(l + Vi) (l+P"+c/)" 



X2 = #1 - ^^i = (i +y.)y2- jP_4^ >(i+g')-2pg^+<(i+/) , 



lesquels reproduisent deux expressions bien connues dans la théorie de la coui'- 

 bure des surfaces. 



26. Cherchons encore à établir les transformations infinitésimales du groupe 

 formé par les transformations conformes de l'espace à trois dimensions. Ce 

 groupe est complètement déterminé par la condition qu'il transformera deux 

 surfaces orthogonales quelconques en des surfaces orthogonales, ou autrement, 

 qu'il laissera invariante l'équation 



(7) ppi + gçzi = - 1 , 



2}, q et pi, (/1 désignant deux systèmes différents de valeui's des dérivées 

 -5- et v^ . Dès lors, en désignant par ôf l'accroissement d'une expression quel- 

 conque f, dû à une transformation infinitésimale arbitraire du groupe considéré, 

 on devra avoir 



(8) â {ppi + çtq^) =pôpi+p^6p + qoqi+qiôq = o, 



en vertu de la relation (7). 



Posons 



ôx =^'§{xyz)ôt 1 ôy =^ tj(xyz)ôt , ôz = Z{x%jz)ôt \ 



