Systèmes complets et invariants différentiels. 



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on am-a, d'après le n" 9, 



C rf? 



I f/C (/? dTi\ ., 



d_ _ (^ â^ 



dx ~ dx^^dz' 



d _ d d^ 



\dy ~ ôy ^'^dz) 



ôpi et ôqi se déduisant de àjj et dq en y remplaçant 2^ et q par jh et f/, 

 (voir le n° 7). L'équation (S) devient alors, en tenant compte de la relation (7), 





+ 





- 0, 



et comme cette équation doit avoir lieu poiu- toutes les valeurs de p,q,P\,q\, 

 qui satisfont à la relation (7), il taut qu'on ait séparément 



(9) ä:. + d-I = "' dy^dz^""^ dz-dx = '^ J.-0^ = °'5^ + ^l/ = "- 



Il s'agit d'intégrer ce système. — En différentiant une première fois, on trouve 



d'i 



d^fj 



d'C 



(10) 



dydz dxdz dxdy 



Si ^ ^: ^ ^'^ ^_Ù 

 ôxdij "~ dxdz ~ dx^ " ôy^ 



ôyd- dxdy da:- dy^ 



É^ = EL =_^^ ^_^ 

 dxd.; dydz dji^ dy'^ 



0, 



■ dz^ ' 



dS _ d\ 



d'Ç 

 dz"-' 



On en conclut, en différentiant encore une fois, que les dérivées du troisième 

 ordi"e des quantités i,rj, ^ s'annulent toutes identiquement. Ces quantités ont, 

 par suite, la forme de polynômes du second degré en x , i/,z, et en détermi- 

 nant, au moyen des relations (9) et (10), les coefficients de ces polynômes, on 

 trouve enfin 



? (x yz) = li + ax + h y + cz + \ A {x - ?/' - /) + Bxy + Cxz, 

 tj (xyz) = ^2 - bx+ ay + dz + \ B {y'-x' - z') -\- C y z -\- Ayx, 

 ^(xyz) = h^ - c X - dy + az + k G{z'^ -x^ -y^) i- Azx + Bzy, 



ki,k2,k3, a,b, c, d, A, B, C désignant des constantes arbitraires. Le groupe 

 des transformations conformes de l'espace ordinaii-e est donc engendi-é par les 

 dix transformations infinitésimales suivantes 



