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lesquelles sont évidemment toutes indépendantes. 



Proposons-nous d'examiner s'il existe des invariants ou des équations in- 

 variantes du second ordre par rapport au groupe considéré. — En vertu des 



relations 



(X, X,) = X, f , (X, X,) = Xs f , (X, X,) = - Xs /■ , 



on pourra laisser de côté les transformations infinitésimales X^f, X^f, et X.jf, 

 et le système à intégrer deviendra par suite 



/ X ,.(2)^ ,,(2) (2) (2) (2) (2) (2) 



(il) Xi f= 0, Ao / = 0, Aa / = 0, Xi f= 0, X^ f - o, X7 / = o, Xio/ - 0. 



(.2) . (2) 



Les cinq premières équations ont été calculées déjà (p. 53); pour X^^fetXiof 

 on trouve les expressions 



X?f ^ X,f+ 2 [z (1 +/) - qy] 1^ +2^4y +ri^']^^+ 2 {p(\ +p') + 3prz-2sy- r ./;] f^_ 



+ 2 [p^q + 2psz - SX -ty + r(ij + g^)] ^ + 2 [p(\+(f) + 2s(y + q.^-\-pt2 - ^7] ^J- 



l'renons pom- nouvelles variables les intégrales 



Vi = / + i, V'2 = '■ + f> V>3 = rt- /, (fi = /)•+ a^j^A- + 2"/, 

 des quatre premières équations (11); on trouve, après quelques réductions faciles, 



xf)'=qY,f+2(ps + qt) y,f, 



xf/-= 2/;^ l\f+4Hpr-]-q,) Y,f+2pYj-2xYJ, 



OU 



xioV=-r,/-, 



17 - df , d/" , df 



