Systèmes complets et invariants différentiels. 57 



et on en conclut, par un raisonnement analogue à celui dont nous avons déjà 

 plusieiu-s fois fait usage, que le système (u) pourra être remplacé par le sys- 

 tème 



(12) !',/■= 0, Y^f=Q, l\f=o, TJ=o, 



aux variables Vi, f^, f:-., V'i, lequel se simplifie encore en substituant à Y,f=o 

 l'équation 



Introduisons poiu- nouvelles variables les intégi'ales 



Xl - T— To ' XS - — ^^-3~ 



(l+Vl) (l+9'l)2 



des deux premières équations (12); on sera ramené au système 



Comme ces équations sont linéairement indépendantes, le groupe considéré ne 

 possède aucun invariant du second ordre. En revanche, il existe pour cet ordre 

 une équation invariante 



(13) X2'-4X. =0, 



obtenue en égalant à zéro le déterminant des coefficients des deux équations 

 précédentes. — Cette équation a une signification géométrique facile à 

 interpréter. En effet, l'expression X2''-4Xi est le discriminant de l'équation 



dont les racines sont les deux rayons principaux de coui'bui-e. L'équation (13) 

 et donc la condition poui" qu'un point soit un ombilic et on aura, par suite, ce 

 résultat que le groupe des transformations conformes de Vespace change tout 

 ombilic en un ombilic. C'est-là, du reste, un fait dont on se rend aisément 

 compte par des considérations géométriques. 



Le groupe conforme possède é-sddemment quatre invariants distincts du S*" 

 ordre, cinq du 4'' ordre, et ainsi de suite. M. Tresse ') a donné un moyen 

 simple d'exprimer ces invariants en fonction de ceux du groupe formé par les 

 transformations des coordonnées rectilignes de l'espace. La méthode dont il 



') A. Tresse, Sur les invariants différentiels d'une surface par rapport aux transformations 

 ronfornifs d<- l'e^mce. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séance du 19 avril 1892. 



