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fait usage et qui est en quelque sorte une combinaison des méthodes exposées 

 dans le n" 10, s'applique aussi à quelques autres groupes spéciaux. 



27. Le groupe des transformations pi'oj actives à deux variables {x, y) est 

 détei'miné par la condition qu'il laissera invariant l'ensemble des droites du 

 plan. En désignant par ôf l'accroissement d'une expression f dû à une trans- 

 formation infinitésimale quelconque de ce groupe, on aura donc ôy" = o, en 

 vertu de la relation y" = o^). Or, en posant 



ôx = ^ixy)ôt, ôy = t} ixißöt, 



on trouve, d'après le n° 9, 



Cette expression devant s'annuler identiquement pour y" = o, on en conclut que 

 ^ et >? satisfont aux équations 



— - = 2 — - = O — - — 2 — ^ =: — ^ = n 



ôx^ ' dxdy dx^ ' di/ dxôy ' dy^ 



d'où l'on tire facilement 



? = «0 + fli a; + ûfa </ + ag / + 04 a; î/ , 

 n = h + t>ix+hy -{-a^xy -^ra^y^ , 



«0, 0], «2 5 «3; «4? ^0) ^1 j ^2 désiguaut des constantes arbitraires. Le groupe con- 

 sidéré est donc engendré par les huit transformations infinitésimales indépen- 

 dantes 



„ df df df „ . 2 àf , df 



^J^Tx' ^^f='dx' ^^=^^2/^' ^^'^=^0^ + ^2/5^'. 



^^^ = 1 ^^f=4y ""^f-yfr ^«^=^4' + ^^|- 



Proposons-nous, comme dernier exemple, de calculer les invariants diiïéren- 

 tiels du groupe considéré jusqu'au septième ordre inclusivement. En vertu des 

 relations 



(X, X,) = X,f, {X, X,) = 2 XJ+ X,f, 

 (X, X,) = X,f, (X, Xs) = X,f+ 2 XJ, 

 d'où 



X,f = 2/3 {Xr X,) - Va (X2 X,) , XJ = 2/3 (X, X,) - 1/3 (^i X,) , 



on n'aura à prolonger que les quatre transformations infinitésimales X^f, Xof, X^f 

 et X^f. On trouve, en les prolongeant sept fois, 



') Cf. Sophus Lie, Vorlesungen über JJiff'erentialgleichnvyen etc. (G. Soheppers) p. 389. 



