Systèmes complets et invariants différentiels. 6.1 



àf , df ôf df 



oUi Olli aii^ au-, 



La seconde équation pouvant être mise sous la forme 



'àf , df , ^f^ \ àf ^ . o åt 



[àf , df df-\ [ df , , o. df 



[^. + '^ «* rfi + 5 "^ ôi\ - ["•' di + (^ «^ - 4 'O ou. 



= , 



il suit de la proposition du ii" 22 qu'on pouiTa remplacer les deux équations 

 précédentes par le système des trois équations 



df df df , df 



»«4 du^ ôuq du-i 



df àf df 



dui dus du-, 



(18) ,T^ + 4«*5^+5«.,;,f =0, 



àf , 2x àf 



u,^^ + (2u.-4u,)^-^^=o. 



Introduisons comme A'ariables les intégrales 



'5 = «5 , «s = «6 - 2 Ui', V-, = t«, - 5 Ui Us 



de la seconde de ces équations; il restera à intégi'er le système 



df , df df 



3vs~~ + 4f6;^ + 5v-,^ = o, 

 dvs di'e 'dvn 



^ ^^ df df 



La première équation admet les intégrales 



V^ V-, 



"'6 = — ï ' «v = —^ ' 

 et en les prenant poui* variables, la seconde équation devient 



d'oii l'on tire enfin Tintégi'ale 



/-i 2 V^Vn — Va" 



n = (f, - wi = " \ ^ 



V-0^ 



qui est un invariant différentiel du septième ordi-e du groupe considéré. 



Dans sa thèse Sur les invariants différentiels (Paris 1878), Halphen a 

 calculé les invariants différentiels du groupe projectif, en suivant des mé- 

 thodes absolument différentes de celles que nous venons d'exposer. L'invariant 



