4 Hj. Mellin. 



som satisfierar en linear differensekvation af l:sta ordningen, samt uppvisat, 

 att integi'alen 



rt+JQO 



r{,-a,)-..r{z-aj 



(1) y = ^ij 



r{z-h)---r{z-h„) 



- X' 



ifall m > n och integrationsvägen utgöres af en obegränsad med imaginära 

 axeln parallel rät Unie, som ligger på höger (positiv) sida om punkterna 

 «1 , . . . , a,„ , icke blott har en bestämd betydelse, om reela delen af x är positiv, 

 utan ock satistiarar en hypergeometrisk differentialekvation, d. v. s. en likhet 

 af formen 



{A,-B, x) X + {A, - B,x) xJ + .-- + (A„. - £„. z) x" ^ = o. 



«•^ ax 



Sålunda är t. ex. 



a+i CO 



" = ^ J^^"^'^'^ ">' 



om reela delen af x är positiv. Denna likhet, som tillika är det enklaste 

 specialfall af (1), har sitt komplement uti likheten 





dx . 



Författaren till föreliggande afhandUng har genom sina egna undersök- 

 ningar öfver gammafunktionerna ^) på en helt annan väg äfvenledes bhfvit 

 förd till integraler af formen (1) '"). Också denna väg torde ha sitt intresse, 

 emedan man derpå erhåller en stor mängd i och för sig sjelfva intressanta 

 formler, hvilka på den af Pincherle inslagna vägen icke utan vidare framträda, 

 hvaijemte det inre sammanhanget mellan gammafunktionen och de hypergeo- 

 metriska funktionerna kommer att framträda från en delvis ny sida. I öfver- 



') C. f. Om en ny klass af transcendenta funktioner, hvilka äro nära beslägtade med gamma- 

 funktionen I & II. Acta Soc. Sc. Fenn. Tomerna XIV och XV. — Zur Theorie der G amma funktion. 

 Acta Math. Bd. 8. — Über einen Zusammenhang Zioischen linearen Differential- und Differensen- 

 gleichungen. Ibid. Bd. 9. — Zur Theorie der linearen Bifferenzengleichungen erster Ordnung. Ibid. 

 Bd. 15. 



-) Att efterfiHjande undersökningar icke tidigare publicerats har berott derpâ. att författa- 

 ren ämnat låta dem ingå i ett större arbete öfver hypergeometriska funktioner, hvilket förf. 

 sedan någon tid torberedt. Förf. har dock numera ansett sig böra afstå från den ursprungliga 

 planen samt i stället uti särskilda uppsatser offentliggöra sina studier. I slutet af denna afhand- 

 ling saknas icke antydningar af den riktning, hvari de följande undersökninsarne komma att 

 fortgå. 



