Om definita integraler. n 



ensstämmelse härmed kunna efterföljande sidor äfven betraktas såsom fram- 

 ställning af en väg, hvarpå man ifrån teorin för gammafunktionen direkt kan 

 komma in uti teorin för de hypergeometriska funktionei'ua. Den välbekanta 

 CAUCHï'ska satsen om residuer utgör föreiiingslänken emellan båda teorierna. 



1. Utgångspunkten för de följande betraktelserna har utgjorts at inte- 

 gralen 



1 Ç x^ ^j^ 



2stiJ z{z+\)--{z-\-kY ^ ' 



tagen längs begränsningen af en rektangel, som innehåller samtliga punkterna 

 Ä = o , -1 , -2 — k. Enligt en bekant sats är 



■]z(z + i^...(z + k-)^^~2^^''" 



2mjz{z + i)--{z + k) 



der Ro,- , -R/, äro de till de resp. punkterna z = o,~i .■■■-k hörande residuerna. 

 Emedan 



så har man 



Ökrifves j- i stället för x, så fås 

 k 



\kk' _ / .i.^'■ 



^iJz(z+i)---(^+k)''' "^-V k 



2srt 



Får obegränsadt växande värden på ä; närmar sig högra membrum gränsen 

 e'" . Deremot är venstra membrum icke utan vidare egnadt för en gTäns- 

 öfvergång. Vi dela derför integralen i fyra integi'aler, tagne längs de fyra 

 sidorna af den omnämda rektangeln, hvars hörnpunkter antagas vara a-im, 

 a+io), ci+i(û, ct~i(o, sålunda att «>o och c(<-k: 



(a+im a+iio ct~icD ii—ico\ ^. 



a-iaj a + ico a + liû ci—ico/ 



Vi bibehålla tills vidare k oföränderligt samt antaga att .*• har ett god- 

 tyckligt positivt värde. Låter man då w obegränsadt växa, så komma uppen- 

 barligen andra och tjerde integralen, som äro tagne längs parallelogrammens 



