6 Hj. Mellin. 



med reela axeln parallela sidor, att obegränsadt aftaga mot noll, under det att 

 de två öfriga närma sig vissa ändliga gränsvärden. Sålunda fås: 



a— i CO CL — »00 



Det kan ytterligare ådagaläggas, att den första eller andra eller båda de se- 

 naste integralerna äro noll, allt efter som x är > eller < eller = k. Ur den 

 föregående härledningen framgår nämligen, att den förra integralen är obe- 

 roende af a sålänge a> o, och den senare oberoende af c. sålänge a<- k. Låt 

 oss antaga att x<k och föreställa oss att talvärdet af « obegränsadt växer, 

 d. v. s. att integrations vä gen för den senare integralen obegränsadt förskjutes 

 i negativ riktning. A ena sidan förblir, såsom redan sades, integralen derun- 

 der till sitt värde oförändrad. A andra sidan kan faktorn k'x~-, som före- 

 kommer efter integraltecknet, derunder icke växa öfvei' hvarje gräns. Den 

 senare integralen är derför vid lämpligt val af C icke större än 



a+ioo 



/\k \dz\ 

 — - — i^' — ~, der C tillika är oberoende af «. Då nu senaste uttryck 

 Hl^-i-i[...t^-f/^l' 



n-ioo 



med växande ti uppenbarligen näi'mar sig noll, så sluta vi att den senare in- 

 tegralen i likheten (2) äfvenledes är noll. 



Om således x<,k samt a ett godtyckligt positivt tal så är 



« + /00 



.ox 1 f E^^ _- , 



'-k 



Låta vi nu uti denna likhet k obegränsadt växa, så erhålles i stöd af 

 formeln 



lim \^-k^ 



k = 'x> e'(z+i)...{s+k) 

 likheten 



a+i aa 



(4) ^. j r(,).-^d.:^o-^. 



r(.) 



a—ico 



Denna öfvergång från likheten (3) till likheten (4) förutsätter strängt 

 taget, att den genom likheten 



definierade storheten t icke blott för ett bestämdt värde på ^- utan äfven för 



